- •1.1 Понятие и классификация экономико-математических моделей
- •1.2. Примеры типовых экономико-математических моделей
- •Модуль 2. Сетевые модели в планировании и управлении
- •2.1. Элементы и правила построения сетевой модели
- •2.3. Алгоритм расчета параметров детерминированной сетевой модели
- •2.3. Диаграмма затрат ресурсов и ее оптимизация
- •2.4. Сетевые модели в условиях полной неопределенности
- •2.5. Вопросы для самоконтроля
- •2.6. Тесты. Сетевые модели
- •2.7. Практикум
- •Модуль 3. Экономико-математическая модель межотраслевого баланса «затраты – выпуск»
- •Модель «Затраты–Выпуск». Открытая модель Леонтьева
- •3.2. Замкнутая модель Леонтьева
- •3.3. Динамическая модель Леонтьева
- •3.4. Матричные модели предприятий, фирм
- •3.5. Вопросы для самоконтроля
- •3.6. Тесты. Балансовые модели
- •3.7. Практикум
- •1. Матрица внутрифирменных связей:
- •2. Матрица распределения чистой продукции:
- •3. Матрица затрат ресурсов (фонд заработной платы, материалы, э/энергия, износ оборудования):
- •Модуль 4. Методы и модели линейного программирования
- •4.1. Математическая модель общей задачи линейного программирования
- •4.2. Симплекс - метод решения задач линейного программирования
- •4.3. Двойственность в линейном программировании
- •4.4. Решение задач линейного программирования средствами excel
- •4.5. Вопросы для самоконтроля
- •4.6. Тесты. Линейное программирование
- •4.7. Практикум
- •Модуль 5. Транспортные задачи линейного программирования
- •5.1. Постановка и математическая модель транспортной задачи
- •Математическая модель тз:
- •5.2. Алгоритм решения транспортной задачи методом потенциалов
- •5.3. Транспортная задача с ограничениями на пропускную способность
- •5.4. Метод потенциалов для задачи Td
- •5.5. Вопросы для самоконтроля
- •5.6 Тесты. Транспортные задачи
- •5.7. Практикум
- •Модуль 6. Динамическое программирование
- •6.1. Оптимальное распределение ресурсов
- •6.2. Задача о замене оборудования
- •6.3. Применение динамического программирования в вопросах перспективного планирования.
- •6.4. Выбор оптимальных маршрутов методом динамического программирования
- •6.5. Вопросы для самоконтроля
- •6.6. Тесты. Динамическое программирование
- •6.7. Практикум
- •Задание 4. Выбор оптимальных маршрутов и инцидентных цепей
- •7.1. Постановка и геометрический смысл общей задачи нелинейного программирования
- •7.2. Метод множителей Лагранжа
- •7.3. Градиентные методы
- •7.4. Метод Франка-Вулфа
- •7.5. Метод штрафных функций
- •7.6. Метод наискорейшего спуска
- •7.7. Вопросы для самоконтроля
- •7.8. Практикум
- •Рекомендуемая литература
- •Содержание
- •Математические методы и модели в экономике
- •Издательство
- •625000, Г. Тюмень, ул. Володарского, 38
- •625039, Г. Тюмень, ул. Киевская, 52
3.3. Динамическая модель Леонтьева
Динамическая модель Леонтьева относится к классу межотраслевых, в ее основе лежит статическая модель межотраслевого баланса. Конечный продукт разбивается на две части: вектор объемов капитальных вложений и вектор непроизводственного потребления
,
где показывает, какое количество продукции i-той отрасли направлено в текущем году в j-тую отрасль в качестве производственных капитальных вложений в ее основные фонды. Капитальные вложения считаются зависимыми от приростов объема производства ( - вектор производных объемов производства по времени). Форма этой зависимости - линейная однородная:
, (3.16)
где - коэффициенты вложений, характеризующие фондоемкость единицы прироста продукции, их еще называют коэффициентами приростной фондоемкости. В динамической модели они играют особую роль. Квадратная матрица n-го порядка коэффициентов приростной фондоемкости дает значительный материал для экономического анализа и планирования капитальных вложений
,
каждый столбец которой характеризует для соответствующей j-той отрасли величину и структуру фондов, необходимых для увеличения на единицу ее производственной мощности (выпуска продукции). Прирост продукции , где t – текущий период, а (t-1) – предшествующий.
Используя коэффициенты вложений и коэффициенты прямых материальных затрат , уравнение распределения продукции можно записать
(3.17)
Если прирост валовой продукции определен в сравнении с (t-1) периодом, а объемы валовой и конечной продукции относятся к некоторому моменту времени t, то .
Отсюда
(3.18)
Решение этой динамической системы позволяет определить выпуск продукции в последующем периоде в зависимости от уровня, достигнутого в предыдущем периоде.
Переходя от дискретного анализа к непрерывному, с учетом (3.16), будем иметь:
(3.19)
Для решения этой системы n линейных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами необходимо знать уровни валового выпуска в начальный момент времени t=0 и закон изменения величины конечного продукта, то есть вид функции . В результате решения задачи Коши для системы дифференциальных уравнений с начальными условиями можно найти уровни (решения) валового выпуска теоретически для любого момента времени. Практически более достоверный результат валовых и конечных выпусков продукции, как функций времени, можно получить для небольших промежутков времени. Таким образом, в основе построения модели в виде динамической системы уравнений лежит математическая зависимость между величиной капитальных вложений и приростом продукции.
Кроме предположений модели межотраслевого баланса, в динамической модели Леонтьева используются следующие предположения:
-
капитальные вложения выступают единственным источником роста производства, то есть содержательно интерпретировать в модели Леонтьева можно только траектории развития с неубывающими по всем отраслям объемами производства. Освободиться от такого требования можно путем включения в модель зависимостей от капитальных вложений не приростов объемов производства, а приростов производственных мощностей, которые ограничивают сверху объемы производства;
-
выбытие основных производственных фондов не учитывается;
-
предполагается мгновенность преобразования капитальных вложений в приросты объемов производства. В действительности между моментом осуществления капитальных вложений и приростом выпуска продукции, вызванными этими капитальными вложениями, проходит определенное время - лаг капитальных вложений;
-
экономические величины предполагаются непрерывными во времени, а в реальности многие экономические процессы дискретны, и, кроме того, статистическое отображение экономических процессов дискретно во времени. Единицей отсчета времени обычно выступает год.
-
не учитывается технический прогресс.
Динамическая модель в матричной форме Неймана является математическим обобщением ряда динамических моделей, в том числе и линейная динамическая модель межотраслевая модель Леонтьева, основанным на математической теории равномерного пропорционального роста экономики – магистральной теории. Подробное изложение теории магистралей [7. С. 754-772].
Таблица 3.2.
Принципиальная схема динамического баланса
Производящие отрасли
|
Потребляющие отрасли |
|||||||||
Межотраслевые потоки текущих затрат |
Межотраслевые потоки капитальных вложений |
Конечный продукт |
Валовой продукт |
|||||||
1 |
2 |
… |
n |
1 |
2 |
… |
n |
|||
1 2 … n |
x11 x21 . xn1 |
x12 x22 . xn2 |
… … … … |
x1n x2n . xnn |
ΔΦ11 ΔΦ21 . ΔΦn1 |
ΔΦ12 ΔΦ22 . ΔΦn2 |
… … … … |
ΔΦ1n ΔΦ2n . ΔΦnn |
X1 X2 . Xn |