1.2. Примеры типовых экономико-математических моделей

• Модели задач линейного программирования:

Модель задачи планирования производства (задача планирования сырья или производственных мощностей).

Предположим, что предприятие выпускает n наименований продукции. Обозначим через a_ij затраты i-го вида ресурсов (i =1,2,. . ., m) на производство единицы продукции j - го вида (j =1,2,... , n), через b_i - объемы имеющихся ресурсов (i = 1,2, . . . , m) , через c_j - прибыль, получаемую предприятием при реализации единицы j - го вида продукции.

Требуется составить план производства продукции, который удовлетворял бы заданным ограничениям по ресурсам на выпуск каждого вида продукции с имеющимися технологическими способами производства и давал бы наибольшую прибыль предприятию. Математическая формулировка задачи:

Найти план производства продукции

при ограничениях

и при этом общая прибыль от производства и реализации продукции была бы максимальной, т.е.

Если заданы границы (нижняя и верхняя ) по объему выпуска j - й продукции, то в модель задачи входят ограничения .

Задача рационального использования производственных мощностей

Пусть предприятие выпускает n видов изделий, имея m групп оборудования. Известны нормы времени a_ij на обработку единицы j - го изделия на i- й группе оборудования и фонд времени работы каждой i-той группы оборудования . Известно, что из всех n видов изделий наибольшим спросом пользуются K видов.

Требуется составить план производства, при котором выпуск дефицитных изделий будет максимальным. Необходимое время на обработку всех изделий на i - й группе оборудования равно сумме х_n, которая не может превышать . А для всех m групп оборудования получим систему неравенств:

Компоненты вектора плана выражают количество изделий и, следовательно, являются неотрицательными, т. е.

Обозначив через j₁, j₂,…,j_k номера наиболее дефицитных изделий, выразим их общее количество

т. е. определим план производства дефицитных изделий с наибольшим возможным значением. Возможна задача и с таким дополнительным условием: пусть r_j - оптовая цена единицы j - го изделия, а Q- заданный объем выпуска изделий в рублях, тогда условие запишется в виде

В задаче может быть дополнительное условие на требование выполнения заявок, например, если известна потребность в каждом изделии на планируемый период (l_j - заявка на j - е изделие), то требование выполнения заявок запишется в виде x_j ≥ l_j, .

Задача рационального раскроя материалов

Для производственного использования приходится разрезать на части материалы, поступающие в виде целых единиц определенных стандартных размеров, чтобы получить заготовки необходимой величины и формы. При этом образуются определенные отходы. Требуется раскроить материал так, чтобы получить минимум отходов.

Пусть из определенного мерного материала необходимо выкроить m разновидностей заготовок, при этом заготовок i - го вида необходимо получить A_i штук.

Известно N различных способов раскроя, причем по каждому j - му способу раскроя выходит a_ij единиц выкраиваемых заготовок и c_j - величина отхода при использовании данного способа.

Обозначим через x_j - количество единиц исходного материала, которое следует раскраивать по j - му способу.

Для составления математической модели необходимо установить различные возможные способы раскроя материалов.

Математическая модель задачи:

при

• Модель задачи нелинейного программирования

Предприятие выпускает два вида продукции x₁ и x₂ (в тоннах). Затраты (в тысячах рублей), связанные с производством продукции, выражаются целевой функцией

Спланировать выпуск продукции с минимальными затратами на ее производство.

Математическая модель задачи:

_{; .}

• Модель задачи динамического программирования

На авторемонтном предприятии имеются k постов ремонта автомобилей. Известно, что i – тый пост (), получив х единиц комплектов запчастей, отремонтирует единиц автомобилей.

Требуется распределить А единиц комплектов запчастей между указанными в таблице k постами предприятия так, чтобы общее количество отремонтированных ими автомобилей было максимальным.

Математическая модель задачи:

max

х₁ + х₂ +… + х_k = А

.

• Модель задачи дискретного программирования

Грузовой отсек парохода может быть использован для перевозки груза n наименований. Масса m_j (в тоннах), стоимость c_j (в условных денежных единицах), объем v_j (j) (м³) единицы груза j-го вида. В грузовой отсек может быть погружено не более M тонн груза общим объемом, не превышающим V м³. Кроме того, груза k-го вида на пароход можно взять не более d_k единиц. Сколько единиц каждого груза следует поместить на пароход, чтобы общая стоимость перевозимого груза была максимальной?

Математическая модель задачи:

F = max

при ограничениях ,

_,

_.

• Модель задачи оптимального назначения

Найти оптимальное распределение n работ между n исполнителями при заданной матрице эффективности = , где характеризует в количественной форме эффективность выполнения –той работы ( = 1,2,…,n) - м исполнителем (= 1,2,…,n) при условиях:

а) каждый исполнитель может выполнить только одну работу;

б) каждая работа может выполняться только одним исполнителем.

Математическая модель задачи:

max (min)

, ; - искомая переменная;

, ;