§2.3. Число степеней свободы частично когерентных оптических сигналов

Явления интерференции и дифракции электромагнитных волн обычно описывают, используя понятия об идеально когерентных и идеально некогерентных световых пучках. В первом случае суммируются амплитуды оптических полей и суперпозиция пучков наблюдается обычно по интерференционной картине на экране. Во втором случае складываются интенсивности и интерференционная картина не наблюдается. В действительности оба эти случая не что иное, как математическая идеализация, поскольку реальные световые пучки частично влияют друг на друга, т. е. коррелируют между собой. Таким образом, в действительности ситуация является промежуточной и соответствует случаю частично когерентных световых пучков. Выражение (4.2.7.) по­лучено в предположении полной пространственной и временной когерентности светового пучка (измеряется не только интенсив­ность, но и фазовые соотношения в каждом разрешаемом элементе). В случае частично когерентных световых полей появляется ряд новых закономерностей в теории информации для оптических систем по сравнению со случаем полной ко­герентности излучения.

Любое оптическое поле, существующее в природе, обладает определенными статистическими свойствами, ибо создается множеством некоррелированных элементарных источников (атомов) и, следовательно, представляет собой статистическую динамическую систему. Поэтому, вообще говоря, в теории когерентности основным является статистическое описание электромагнитного поля, статистические свойства которого проявляются в виде его когерентности. Корреляционная функция второго порядка для стационарных и эргодических полей³ называется взаимной функцией когерентности. Ее можно записать как:

, (40)

где V^*(x₁, t), V(x₂, t+τ) – комплексные аналитические сигналы, определяющие электрическое поле волны в точках x₁ и x₂, и в моменты времени t и t+τ соответственно. Функция пространственной когерентности, определяющая корре­ляцию комплексных амплитуд светового поля в двух точках с координатами x₁ и x₂, расположенных в поперечном сечении светового пучка, при τ = 0, определяется соотношением, выведенным из выражения (4.3.1.):

, (41)

где < > - символ операции усреднения по времени.

Комплексный аналитический сигнал для описания оптических полей ввел Д. Габор, и в случае непрерывных функций его можно записать в виде:

, (42)

где A(x,t)- медленно меняющаяся огибающая сигнала (амплитуда), ω – центральная частота сигнала, φ(x,t) - медленно меняющаяся фаза сигнала, - комплексная медленно меняющаяся амплитуда. В отличие от комплексной амплитуды a(x,t), которую практически невозможно измерить для оптического сигнала, функ­ция пространственной когерентности (ФПК) (x₁, x₂) яв­ляется наблюдаемой величиной, которая может быть измерена с помощью интерференционных методов, например с использованием опыта Юнга или с использованием голографической методики.

Комплексную амплитуду a(x,t) можно разложить в дискретный ряд Карунена-Лоэва. С формально-математической точки зрения преобразование Карунена-Лоэва представляет собой разложение сигнала по базису ортогональных функций, каждая из которых является собственной функцией интегрального "характеристического" уравнения с симметричным непрерывным ядром:

(43)

и, 0tT, E{a_m a_n}= _m,n

Таким образом, используя (43) частично-когерентное излучение в одномерном случае можно разложить по базису N ортогональных нормированных функций или мод _i(x), имеющих интенсивность _I = I_i . Тогда ФПК будет определяться следующим выражением:

. (44)

Действительно, в случае полностью когерентного поля огибающая сигнала не за­висит от времени, и ФПК такого поля равна:

. (45)

В случае смеси двух взаимно некогерентных пучков (двух мод), каждый из которых полностью когерентен, ФПК равна:

. (46)

В выражении (46) отсутствуют перекрестные члены вида , поскольку они определяют корреляцию двух взаимно некогерентных пучков, которая равна нулю. Рассматривая случай наложения трех, четырех, ….N взаимно некогерентных пучков, каждый из которых полностью когерентен, придем к соотношению (44).

В соотношении (44), в принципе, некоторые _i могут иметь нулевые значения, то есть число элементарных когерентных пучков (число мод) меньше размерности N. Яс­но, что этому случаю соответствует частичная когерентность суммарного пучка. В случае же, если все _i отличны от нуля то число элементарных пучков максимально и суммарное из­лучение было бы полностью некогерентно. Однако для полной некогерентности необходимо также, чтобы все _i были равны между собой, поскольку в противном случае может быть одна когерентная мода, существенно превышающая по интен­сивности все остальные моды пучка.

На основании проведенных рассуждений легко получить число степеней свободы частично когерентного излучения. Действительно, в случае полностью когерентного пучка сумма (44) состоит из одного слагаемого, освещающего предмет, при этом число степе­ней свободы излучения, распространяющегося в оптической сис­теме согласно (37), равно:

, (47)

где L_x - размер предмета, k_x^/ - пространственные частоты, множитель 4 учи­тывает два состояния поляризации и возможность определения как амплитудных, так и фазовых соотношений.

Для случая частично когерентного пучка, состоящего из когерентных мод, сумма (44) содержит N отличных от нуля слагаемых, то есть число степеней свободы равно:

. (48)

Следовательно, для полностью некогерентного освещения предмета число независимых параметров оптического сигнала в системе, фор­мирующей изображение в двумерном случае равно:

. (49)

Таким образом, число степеней свободы некогерентного излу­чения больше, чем для когерентного, то есть информационная ем­кость некогерентного поля существенно больше, чем для когерент­ного поля, поскольку N > 1. Это обусловлено тем, что некогерентный пучок может быть, в принципе, разложен на сумму мод (когерентных составляющих). Однако, на практике для переноса и извлечения информации из таких когерентных составляющих необхо­димо иметь устройство, осуществляющее физически разложение ви­да (44). При этом необходимо, чтобы на выходе устройства ко­герентное составляющие не перекрывались, и можно было осущест­влять модуляцию каждой из них отдельно от другой. До настояще­го времени, однако, не разрабатывалось подобных устройств, и принцип их действия не ясен.