- •Математика
- •Содержание
- •Комментарии к задаче №1 §1. Случайные события. Основные понятия
- •§2. Случайные события. Операции
- •§3. Классическое определение вероятности
- •§ 4. Примеры задач на классическую вероятностную схему
- •§5. О статистической и геометрической вероятностях
- •§6. Простейшие свойства вероятностей
- •§7. Условные вероятности. Независимость событий
- •§8. Вероятность наступления хотя бы одного события
- •§9. Формула полной вероятности.
- •§10. Формула байеса.
- •Комментарии к задаче №2 §11. Повторные независимые испытания
- •§12. Другие формулы вычисления вероятностей для схемы бернулли
- •Комментарии к задаче №3 §13. Случайные величины дискретного типа.
- •§14. Функция распределения.
- •§15. Математическое ожидание случайной величины дискретного типа.
- •§16. Дисперсия случайной величины.
- •§17. Биномиальный и пуассоновский законы распределения.
- •Числовые характеристики биномиального распределения.
- •Распределение Пуассона.
- •Числовые характеристики распределения Пуассона.
- •Комментарии к задаче №4 §18. Случайные величины непрерывного типа.
- •§19. Нормальный закон распределения и его характеристики
- •§20. Другие законы распределения непрерывных случайных величин.
- •Методические указания к выполнению задания №5
- •Часть 2.
- •Контрольные задания №№1-4 Вариант 1
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 4
- •Вариант 5
- •Вариант 6
- •Вариант 7
- •Вариант 8
- •Вариант 9
- •Вариант 10
- •Вариант 11
- •Вариант 12
- •Вариант 13
- •Вариант 14
- •Вариант 15
- •Вариант 16
- •Вариант 17
- •Вариант 18
- •Вариант 19
- •Вариант 20
- •Контрольные задания №5
- •7. Приложения 1-4
- •Приложение 2 «Нормированная функция Лапласа»
- •8. Требования к оформлению контрольной работы
- •9. Список литературы
- •10. Приложение а. Содержание дисциплины.
- •Тема 4.1. Случайные события и вероятность.
- •Тема 4.2. Случайные величины.
- •Тема 4.5. Математическая статистика.
- •11. Перечень контрольных вопросов для проверки знаний по дисциплине.
Числовые характеристики распределения Пуассона.
Математическое ожидание равно дисперсии и равно параметру распределения а: М(Х)= а, D(X)= а.
Комментарии к задаче №4 §18. Случайные величины непрерывного типа.
Если возможные значения случайной величины сплошь заполняют некоторый промежуток (a,b) R (быть может, и всю ось), то табличный способ задания случайной величины непригоден. Такая случайная величина называется случайной величиной непрерывного типа. Ее функция распределения F(x) будет непрерывна. Напомним, что F() = 0 , F(+ ) = 1 , F(x) монотонная неубывающая функция. Производная такой функции F(x) будет функцией неотрицательной. Она называется плотностью распределения вероятностей или дифференциальной функцией распределения вероятностей. Ее обозначение .
Часто по условию задачи задают именно плотность распределения, зная которую можно вычислить и (интегральную) функцию распределения ( по формуле Ньютона - Лейбница ):
F(x) = F(x) F( ) =
Заметим, что f(x) не обязательно непрерывная функция, она допускает в отдельных точках разрывы 1-го рода.
Итак, f(x) неотрицательная кусочно-непрерывная функция, причем, согласно одному из свойств F(x),
F(+ ) == 1
Последнее равенство, называемое условием нормировки f(x), показывает, что f(x) не любая неотрицательная функция: площадь между графиком плотности распределения и осью абсцисс должна быть равна 1.(Для дискретной случайной величины условием нормировки являлось равенство ).
Для непрерывных случайных величин справедливы равенства
F(b) F(a) = P(a X < b) = P(a < X < b) = P(a < X b) = P(a X b) = .
М(Х) и D(X) определяются формулами
M(X) =, D(X) =.
Вычислительная формула для D(X):
D(X) = M(X2) (M(X))2 = (M(X))2.
§19. Нормальный закон распределения и его характеристики
Нормальный (гауссовский) закон распределения задается плотностью распределения по формуле
, x
Числа а R и > 0 называются параметрами нормального закона. Нормальный закон с такими параметрами обозначается N(a,).
При а = 0 функция f(x) четная ( f(x) = f(x) ) , ее график симметричен относительно оси OY, и поэтому среднее значение М(Х) = 0. График f(x) для закона N(a,) получается из графика f(x) для N(0,) сдвигом на а единиц вправо ( это известно из курса средней школы ), поэтому в общем случае М(Х) = а для нормального закона. Дисперсия же вычисляется по формуле D(X) =2.
Пример. Случайная величина Х распределена по нормальному закону с плотностью вероятности
Найти А, М (Х), D(X), P(3<X<3).
Т. к. , то
Показатель экспоненты приравняем к , откуда а = 2 , = 1 . Числовой коэффициент должен быть равен А, следовательно,
, M (X) = a = 2, D(X) = 2 = 1.
P (3 < X < 3) = F(3) F(3) = =
Этот интеграл не вычисляется в элементарных функциях, его численное значение можно найти по таблицам.
В большинстве учебников имеются таблицы для вычисления функций
Ф(х) = или Ф1(х) = = + Ф(х)
Ф(х) нечетная функция, т.е. Ф(х) = Ф(х). В общем случае
Р(x1 < X < x2) = ,
где а и - параметры нормального закона. Следовательно, для данного примера
P(|X| < 3) = Ф1(1) Ф1(5) = Ф(1) Ф(5) = Ф(1) + Ф(5) =
= 0,3413 + 0,5 = 0,8413.