§2. Случайные события. Операции

Сумма событий А + В - событие, состоящее в том, что произошло хотя бы одно из двух событий А и В, т.е. наступило либо А, либо В, либо оба сразу. Пример: для событий А₁ и А₄ из §1 А₁ + А₄ = {выпало 1,3,5 или 6 очков}.

Произведение событий А · В  это совместное осуществление и А и В (иначе: их общие исходы). Пусть В = {при броске игральной кости выпало число очков, кратное 3}. Тогда В · А₄ = {выпала грань с 3 очками}.

Для несовместных событий А и В их произведение А·В=V у них нет общих исходов. В частности, для последнего примера §1 можно записать А₁ ·А₄ = V.

Два события и А называются противоположными, если появление одного из них равносильно непоявлению другого.

Для операций над событиями выполняются свойства:

А + В = В + А

А · В = В · А

(А + В) + С = А + (В + С)

(А · В) · С = А · (В · С)

(А + В) · С = А · С + В · С

Если события А₁, А₂, ..., А_n попарно несовместны (А_i·А_j=Vпри i j ), а их сумма  достоверное событие (A₁+A₂+...+A_n = U), то говорят, что {A₁, A₂, ..., A_n}  полная группа несовместных событий или разбиение U. В частности, {A,}  полная группа несовместных событий для любого А.

§3. Классическое определение вероятности

Вероятность события А  это число Р(А), которое вводится для количественного описания степени объективной возможности наступления А.

В этом параграфе рассмотрим испытания, в которых множество U представляет собой конечное число равновозможных исходов. Например, если бросить игральную кость один раз, то она может выпасть на любую из шести граней. Достоверное событие Uздесь состоит в том, что выпала одна из шести граней. Будем считать кубик симметричным; в этом случае можно считать все шесть исходов равновозможными. В случае двух бросков симметричной монеты  4 различных исхода: “орел-орел” (О, О), “орел-решка”(О, Р), а также (Р, О) и (Р, Р); их также считают равновозможными. Все они вместе образуют достоверное событие Uдля данного испытания. В первом случае вероятность каждого из элементарных исходов равна 1/6, а во втором 1/4.

В общем случае, если число всех элементарных исходов N(U) равно n, то вероятность каждого из них 1/n. Пусть число благоприятствующих исходов для А или, иначе, число элементарных исходов испытания, входящих в событие А ( N(A) ), равно m, тогда вероятность

( 1 )

Это формула классической вероятности.

В примерах из §1 шесть элементарных исходов: выпала цифра 1, 2, 3, 4, 5 или 6. Событие А₁ включает в себя ровно 1 элементарный исход, А₂ (достоверное)  все 6, А₃ (невозможное)  0, А₄  3. Поэтому

, ,

,

Еще примеры. При двух бросках симметричной монеты событие С = {выпал хотя бы один “орел”} включает в себя три элементарных исхода из четырех, поэтому .

Событию D = {при трех бросках монеты выпало ровно два ”орла”} благоприятствуют 3 из 8 возможных элементарных исходов, поэтому .

§ 4. Примеры задач на классическую вероятностную схему

1. Брошены две игральные кости. Какова вероятность того, что на них выпали грани с одинаковым числом очков?

Каждому из шести исходов при броске первой кости соответствует шесть исходов, получающихся при броске второй кости, значит, всего получится 36 элементарных исходов (1-1, 1-2, ..., 1-6, 2 - 1, ... , 6 - 6). Искомому событию благоприятствуют 6 исходов из 36 (1-1, 2-2, ... , 6-6), поэтому вероятность данного события А

.

2. В урне 10 белых и 12 черных шаров, вынимают 3 из них. Какова вероятность того, что среди них ровно 2 черных?

Общее число элементарных исходов  это число способов, которым можно вынуть 3 шара из 22. Оно равно числу сочетаний из 22 элементов по 3.

n =

Общая формула для числа сочетаний из n по m приведена ниже.

Событие А, вероятность которого нужно подсчитать, состоит в том, что вынуты 2 черных и 1 белый шар.

2 черных шара из 12-ти можно извлечь

1 белый шар из 10-ти можно взять

способами. Таким образом, число благоприятствующих событию А способов равно

m =

Итак,

.

Примечание. Общая формула для числа сочетаний из L по k

,

где .

Подробнее о комбинаторных схемах см. [ 3-4 ].

3. Полный набор домино (28 костей) раздается между четырьмя игроками (по 7). Какова вероятность, что у третьего игрока нет “шестерок”?

Всего игрок может получить n = различных наборов из 7 костей, составленных из всех 28 костей домино, “шестерка” содержится на 7 “костяшках”, значит, без “шестерок” – 21 кость домино. Из них можно составить m = всевозможных “семерок” – наборов из 7 костей. Окончательно,