- •Математика
- •Содержание
- •Комментарии к задаче №1 §1. Случайные события. Основные понятия
- •§2. Случайные события. Операции
- •§3. Классическое определение вероятности
- •§ 4. Примеры задач на классическую вероятностную схему
- •§5. О статистической и геометрической вероятностях
- •§6. Простейшие свойства вероятностей
- •§7. Условные вероятности. Независимость событий
- •§8. Вероятность наступления хотя бы одного события
- •§9. Формула полной вероятности.
- •§10. Формула байеса.
- •Комментарии к задаче №2 §11. Повторные независимые испытания
- •§12. Другие формулы вычисления вероятностей для схемы бернулли
- •Комментарии к задаче №3 §13. Случайные величины дискретного типа.
- •§14. Функция распределения.
- •§15. Математическое ожидание случайной величины дискретного типа.
- •§16. Дисперсия случайной величины.
- •§17. Биномиальный и пуассоновский законы распределения.
- •Числовые характеристики биномиального распределения.
- •Распределение Пуассона.
- •Числовые характеристики распределения Пуассона.
- •Комментарии к задаче №4 §18. Случайные величины непрерывного типа.
- •§19. Нормальный закон распределения и его характеристики
- •§20. Другие законы распределения непрерывных случайных величин.
- •Методические указания к выполнению задания №5
- •Часть 2.
- •Контрольные задания №№1-4 Вариант 1
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 4
- •Вариант 5
- •Вариант 6
- •Вариант 7
- •Вариант 8
- •Вариант 9
- •Вариант 10
- •Вариант 11
- •Вариант 12
- •Вариант 13
- •Вариант 14
- •Вариант 15
- •Вариант 16
- •Вариант 17
- •Вариант 18
- •Вариант 19
- •Вариант 20
- •Контрольные задания №5
- •7. Приложения 1-4
- •Приложение 2 «Нормированная функция Лапласа»
- •8. Требования к оформлению контрольной работы
- •9. Список литературы
- •10. Приложение а. Содержание дисциплины.
- •Тема 4.1. Случайные события и вероятность.
- •Тема 4.2. Случайные величины.
- •Тема 4.5. Математическая статистика.
- •11. Перечень контрольных вопросов для проверки знаний по дисциплине.
§14. Функция распределения.
Если F(x) = P(X < x), то функция F(x) называется функцией распределения (интегральной функцией распределения) случайной величины Х, т.е. функция распределения в точке “х” это вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньшее заданного числа х.
Из определения сразу следуют несколько свойств F(x):
F( = 0, F(+ ) = 1;
F(x) неубывающая функция (т.е. если x1 < x2 , то F(x1) F(x2) ).
Функция распределения для случайной величины дискретного типа имеет “ступенчатый” график. Для случайной величины Х1 из §13 F(x) запишется так:
Y
Обратите внимание, что левые концы «ступенек» выколотые, а правые нет. Например, F(1) = P(X1 < 1) = P(X1 =0) = 0,25;
F(1,1) = P(X1<1,1) = P(X1 = 0) + P(X1 = 1) = 0,75. «Высоты» «ступенек» равны очередным вероятностям, взятым из таблицы : сначала 0,25, затем еще +0,5, и наконец еще +0,25.
Аналогичный график и для другого примера – про домино – только там будет не 2, а 12 «ступенек».
Справедлива формула: P(a X < b) = F(b) F(a).
§15. Математическое ожидание случайной величины дискретного типа.
Математическое ожидание - важнейшая “характеристика положения” случайной величины. Для дискретной величины она вычисляется по формуле
М(Х) = x1 · p1 + x2 · p2 + ... + xk · pk (+...) = ,
где x1, x2, ... , xk, ... возможные значения случайной величины (верхняя строка таблицы), p1, p2, ..., pk, ... их вероятности (нижняя строка).
Математическое ожидание это число, которое выражает среднее значение случайной величины (иначе, среднее значение по распределению). Для примера из §13
М(Х1) = 0 · 0,25 + 1 · 0,5 + 2 · 0,25 = 1 .
Здесь Х1 число “орлов”, выпавших при 2 бросках симметричной монеты. М(Х1) среднее число “орлов”, выпадающих при 2 бросках симметричной монеты, это число равно 1.
Для другого примера из §13 М(Х2) = 6.
Отметим два простейших свойства математического ожидания:
1. М (С) = С
2. М (С · Х) = С · М(Х) ( С постоянная ).
В дальнейшем нам придется вычислять математическое ожидание случайной величины Х2. Если случайная величина Х задается таблицей
X |
x1 |
x2 |
... |
xk |
P |
p1 |
p2 |
... |
pk |
то случайная величина Х2 получится после возведения в квадрат возможных значений случайной величины Х, при этом Р(Х = хк)= = Р(Х2 = хк2) = pk :
X2 |
x12 |
x22 |
... |
xk2 |
P |
p1 |
p2 |
... |
pk |
Поэтому М(Х2) = x12 · p1 + x22 · p2 + ... + xk2 · pk = .
В частности, для примера из §13
X2 |
02 |
12 |
22 |
P |
0,25 |
0,5 |
0,25 |
и М(Х2) = 02 · 0,25 + 12 · 0,5 + 22 · 0,25 = 1,5
§16. Дисперсия случайной величины.
Дисперсия важнейшая «характеристика рассеивания» случайной величины. Рассеивание оценивается относительно среднего значения случайной величины Х математического ожидания М(Х). Из всех возможных значений случайной величины Х вычитают число М(Х). Новая случайная величина Y = XM(X) называется отклонением случайной величины Х, причем ее среднее значение М(Y) = 0. Далее рассматривается случайная величина Y2. Ее возможные значения неотрицательны. Среднее значение квадрата отклонения М(Y2) также неотрицательно. Оно и называется дисперсией. Итак,
D(X) = M(Y2)=M((X M(X) )2).
Для вычисления дисперсии используют формулу
D(X) = M(X2) (M(X))2.
Для дисперсии справедливы свойства:
D(C) = 0, D(C · X) = C2 · D(X).
Вновь вспомним пример из §13 . Для него М(Х1) и М(Х12) уже подсчитаны выше: М(Х1) = 1, М(Х12) = 1,5. Поэтому D(X) = 1,512 = 0,5 .
Для второго примера из §13 М(Х2) = 6, М(Х22) = 45, D(X) = 45 62 = 9.