Для любого множества матрица вида

10000

1

1 c_ij = 1

1 c_ij = 0

00001

«Бинарное»

Для любого бинарного отношения могут быть применены операции над множеством: ∩, , -,

<, , =, →, ≤

Свойства отношений

1. Рефлексия

a R a

Отношение выполняется относительно самого себя.

c_ij= 1 (для рефлексивного отношения i = j)

Антирефлексивное отношение:

Для всех аR не существует элемента, для которого выполняется a R a

7≤7 – рефлексивное отношение

7<7 – антирефлексивное отношение

Существуют отношения, которые не являются ни рефлексивными, ни антирефлексивными.

2. Симметричность

Для любой пары (a, b)M из a R b следует b R a

Матрица бинарных отношений будет симметрична относительно главной диагонали.

Например: «быть знакомым» - симметричное отношение, «я его знаю» - несимметричное отношение.

Антисимметричное отношение: из a R b и b R a следует b=a (≤ - антисимметричное отношение)

Отношение симметрично тогда и только тогда, когда обратное отношение равно исходному: R = R^-1

3. Транзитивность

a, b, c

Если из a R b и b R c следует, что a R c

«=», «≤», «жить в одном городе» - транзитивное отношение, «быть сыном» не является транзитивным отношением.

{1, 2}∩{2, 3}∩{3, 4};

{1, 2} ∩ {3, 4} – нетранзитивное отношение

Может существовать отношение R, которое не является транзитивным R_з

R_з – отношение транзитивного замыкания для R

a_i R a_j

a R_з b

Для отношения «быть сыном» его транзитивным замыканием является отношение «быть прямым потомком». Транзитивным замыканием отношения «иметь общую стену» является отношение «жить на первом этаже».

Отношение эквивалентности и классификации

Свойства отношений (рефлексия, симметричность, транзитивность) являются элементарными в том смысле, что их выполнение может быть установлено простым наблюдением или рассуждением.

Отношением эквивалентности (~) называется отношение, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно. Из рассмотренных примеров отношение равенства («=») обладает всеми свойствами отношений. Отношение равенства является отношением эквивалентности, но является минимальным отношением эквивалентности, в том смысле, что равным можно быть только самому себе. Отношение равенства задаёт группу только из одного элемента, в то время как эквивалентность задаёт группу более чем из одного элемента. Внутри этой группы элементы неразличимы, то есть эквивалентны.

Если на некотором множестве М задано некоторое отношение эквивалентности рассмотрим:

а₁ с₁

а₂ с₂

……

а_n c_n

(1) такое разбиение называется

С_i ∩ C_j = Ø (2) классификацией

Классификация – понятие, определяющее систему классов, которые образуются по правилам (1) и (2). Правила, с помощью которых устанавливается принадлежность элементов заданной классификации, называются классификационными правилами (признаками). Правило, с помощью которого устанавливается соответствие рассматриваемого объекта классификационному признаку, называется распознающим правилом.

В системах обработки данных есть два процесса:

• идентификация (пароль);

• аутентификация (логин) – способ разбиения на классы.

В случае определения отношения равенства классы рассматриваемого разбиения состоят из одного элемента.

В реальной практике для построения первичных описаний информационных объектов способ классификации играет принципиальную роль, так как при естественном восприятии информационной обстановки правило (2) очень часто не выполняется.