Операции над множеством

• объединение;

• разность;

• пересечение.

1. Объединение: А В = {х / хА или хВ}, результат объединения – все точки принадлежат либо А, либо В

А={a, b, c, d}

B={a, b, h, f}

A B={a, b, c, d, h, f}

- множество групп

S_n={УКд-11, УКд-21…} – множество названий групп

2. Пересечение: А∩В = {х / хА и хВ}

А∩В = {а, …}∩{…, f} = {a, b}

= Ø

3) Разность: А\В = {х/ хА и хВ}

А\В ≠ В\А

А без b ≠ b без а

С введением понятия разности можно ввести понятие множества с таким понятием – дополнительное к множеству А и U – универсальное множество или множество всех множеств.

= U\A

Формально выполняются соотношения:

А\А = Ø пустые множества

В\В = Ø разные

УКд-31\УКд-31 = Ø операции над названием групп

{УКд-31}/{УКд-31} = Ø операции над списками групп.

С точки зрения способов задания множеств, а, следовательно, конструирование способа описания предметной области, иногда целесообразно описывать или задавать множество А, определив в явной форме его дополнительное, то есть .

= {Т₁,…, Т_n}

T = {U\}

При построении информационных описаний модели предметной области используется метод разбиение исходного множества объектов на подмножества, таким образом, чтобы попарные пересечения таких множеств были пустыми.

{1, 2, 3, 4}

{1, 2}∩{2, 3}∩{3, 4} = Ø – классификация

{1, 2}∩{2, 3} ≠ Ø

Способ, где все попарные пересечения являются пустыми, называют классификациями. Классы – синоним непересекающихся множеств. На принципах классификации, наиболее распространенные из которых иерархический и фасетный, основано множество методов организации документооборота во всех отраслях. При этом документ является первичным носителем информации. Первичное построение модели предметной области очень часто является выяснением к какому классу отнести первичную информацию.

({, ∩, \}, U)

Bool: Булева алгебра множества

({+, *, -}, R) – традиционная алгебра, задается математической структурой

({V, &, - }, {0, 1}) – Булева алгебра логики (частный случай)

ложное f истинное значение t

Булева алгебра логики появляется как набор операций для формализации логических суждений.

«истинно» «истинно» = ?

«истинно» «ложно» = 1

«истинно» & «ложно» = 0

00=1

1&1=1

Понятие вектора и произведение множеств

А х В = {(a₁, b₁), (a₂, b₂),…, (a_n, b_n)} – произведение (a, b) – (*)

Прямым произведением А и В является сочетание всех a и b.

декартова с.к.

(x, y)

R x R = R² множество действительных чисел

Каждая точка характеризуется парой чисел. Вектор – упорядоченный набор элементов.

= (a₁, a₂, …, a_n) – n-арный вектор

В отличие от определения множества, здесь используются круглые скобки, и векторы обозначают маленькими буквами.

Число элементов в описании вектора называется его размерностью (или арностью вектора). Элементы, входящие в описание вектора, называют его координатами. Порядок следования координат должен быть определенным. Координаты могут принимать значения, соответствующие элементам исходного множества.

А = {a₁,…, a_n}

B = {b₁,…, b_n}

(*) – множество пар всех возможных сочетаний

Соответствует новому способу задания множеств, обладающих определенной структурой такой, что для отнесения элемента к этой структуре необходимо более одного признака.

А = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

В = {a, b, c, d, e, f, g, h}

8

АхВ

1

а h

Шахматная доска: каждая клетка характеризуется более одним (2) признаком.

Ф = {…}

=(Ф, И, О)

Понятие векторов образуется следующим образом:

Проекция 1 = (а, b)=(а) – первая координата

Проекция 2 = (а, b)=(b) – вторая координата

Проекция I = (a_i)

Для векторов размерность «2»

Рассмотрение пар объектов, образованных из множеств А и В, приводит к введению понятия соответствия и в частной функции.

«2»

G

GAxB

G = {(a, b)}

Соответствие называют функциональным, если каждому элементу из А соответствует элемент из В и если каждому элементу из В соответствует элемент из А. В этом смысле цель кодирования заключается в построении взаимнооднозначного соответствия построения между объектом и кодированным описанием. Декодирование – обратный процесс, поиск по ходу соответствующего объекта. Способ кодирования – кодирующая функция и способ декодирования называют декодирующей функцией.

f(a)=b – кодирование

f^-1(b)=a – декодирование