Можливі сполучення t I y.

Показник Вимір	t	y
Точний	Фактично днів у місяці	Фактично днів у році (365 або 366)
Наближений	Число днів у всіх місяцях дорівнює 30	Тривалість року дорівнює 360

Важливим поняттям фінансової математики є прибутковість фінансової операції, під якою розуміється процентна ставка за період. Формула (2.4) є вихідною для виведення базової формули ставки прибутковості фінансової операції. З (2.4) одержуємо:

(2.5)

i =

2.2. Дисконтування по простій процентній ставці Позичкові проценти

Означення дійсної вартості майбутніх грошей називається дисконтуванням (на відміну від компаудинга). Дійсна вартість залежить, насамперед, від застосовуваної схеми нарахування процентів.

Для випадку простих процентів з формул (2.2) і (2.4) одержуємо:

або

Доход або проценти при цьому дорівнюють:

Авансові проценти

Дисконтування за формулами (2.7) називається математичним дисконтуванням або обліком. На практиці частіше користуються банківським дисконтуванням або комерційним обліком. При цьому використовується річна дисконтна (авансова) ставка d.

Банківський облік дисконтного цінного папера полягає для власника в достроковій її реалізації, а для банку – у придбанні нижче номіналу і визначенні її вартості на момент дострокової реалізації.

У цьому випадку проценти нараховуються на суму, що підлягає до сплати наприкінці терміну операції. Для виведення формули напишемо співвідношення між дійсною і майбутньою вартостями одиниці грошей :

Використовуючи правило пропорції, одержуємо за одиницю часу:

з відки PV = FV(1-d).

За n періодів або час t:

Звідси природньо виходять формули нарощення грошей по дисконтній ставці:

Приклад. Дата погашення дисконтного векселя 30 червня поточного року. Яка його викупна ціна і дисконт на 12 червня, якщо його номінал 100 тис. грн.? Вексельна процентна ставка – 40 %.

3. Складні проценти

3.1. Нарощення по ставці складних процентів Позичкові проценти

Розрахунки за правилом складних процентів називають нарахуванням процентів на проценти, а процедуру приєднання нарахованих процентів – їх реінвестуванням або капіталізацією.

При рекурсивних процентах i нарощена сума через n періодів обчислюється за формулою:

а у випадку ставки процентів, що міняється від періоду до періоду,де i, i,…, і – процентні ставки за періоди n₁, n₂…, n_n відповідно.

Приклад 1. Фірма одержала кредит на суму 100 млн. грн. терміном на 5 років на наступних умовах за схемою складних процентів:

• у перший рік процентна ставка складає 10.5%;

• для другого року передбачена надбавка до ставки в розмірі 1.5%;

• для третього року і наступних років – у розмірі 0.75%.

Визначте суму боргу наприкінці терміну позики.

Вираз f_{n; i} =(1+i)ⁿ називається мультиплікуючим множником. Його також називають коефіцієнтом або множником нарощення. Зазначення його для різних значень ставки i і числа періодів n табульовані. Мультиплікуючий множник при будь – якій схемі нарахування процентів показує, у скільки разів збільшується початкова сума грошей при заданих процентній ставці і і кількості періодів нарощення процентів n.

Звичайно за процентний період береться один рік. Якщо проценти нараховуються кілька разів у році, а саме m разів, то говорять, що має місце m-кратне нарахування процентів.

У такій ситуації обговорюють не ставку за період, а річну ставку j, на основі якої обчислюють процентну ставку за період: j/m. Ставка j фактично потрібна тільки для того, щоб знати, яке число потрібно розділити на кількість періодів у році, щоб одержати ставку за період.

Базову ставку j називають при цьому номінальною. Подібна схема роботи характерна для банків.

Номінальна ставка не дозволяє зрозуміти, яка ж реальна прибутковість фінансової операції у виді повних річних процентів. У цьому випадку вводиться поняття ефективної ставки і.

Ефективна ставка дорівнює такій одноразовій річній процентній ставці, яка дозволяє одержати той самий результат фінансової операції, що і при нарахуванні процентів кілька разів у році. Інакше кажучи, ефективна ставка показує, скільки процентів за рік нараховано дійсно, якщо вони неодноразово приєднувалися, виходячи з номінальної ставки j.

В иведемо співвідношення між номінальною й ефективною ставками позичкових процентів, виходячи з умови рівності нарощення:

Звідси, здійснюючи найпростіші обчислення, одержуємо формули (3.3) і (3.4), які дозволяють обчислювати ефективну ставку по заданій номінальній і навпаки.

П риклад 2. Є два внески: А і Б. По внеску А проценти нараховуються один раз на рік, виходячи з 120 % річних. По внеску Б проценти нараховуються по півріччях, виходячи з 100% річних. Порівняти прибутковості розміщення коштів.

Нарощена сума при внутрішній капіталізації m разів обчислюється за формулою:

(3.5)

Якщо термін фінансової операції визначений не в роках, а в днях або місяцях, а період нарахування процентів – один рік, то

Якщо період не є рівним року, то, як і раніше, у формулі (3.6) t/y треба замінити на частину періоду l.

П риклад 3. Яка ефективна ставка, якщо номінальна ставка дорівнює 25% при щомісячному нарахуванні процентів?

Якщо загальне число інтервалів нарахування не є цілим числом, то для цілого числа періодів використовується формула складних процентів, а для залишку – або формула складних, або формула простих процентів, однак останнє застосовується частіше. Таким чином, якщо m·n – ціле, а l – частина інтервалу нарахування, то формула (3.5) приймає вид:

при нарахуванні простих процентів на частину періоду і вид:

при нарахуванні складних процентів на частину періоду.

Приклад 4. Інвестор одержав кредит у банку в розмірі 250 млн. грн. з терміном погашення через 2 роки 9 міс. ( 2 роки і 270 днів) під 9.5% річних. Визначити суму погашення при використанні банком складних процентів і змішаного методу нарахування процентів на неповний рік.