1. Основні поняття

Процентні гроші (проценти) – сума, яку платять за користування коштами.

Процентна ставка (такса) – відношення процентних грошей, отриманих за одиницю часу, до величини початкового капітал; виміряється в математичних процентах від величини капіталу або в частках одиниці.

Період нарахування процентів – відрізок часу між двома послідовними процедурами стягування процентів або термін фінансової операції, якщо проценти нараховуються один раз.

Щодо моменту часу нарахування або виплати проценти поділяються на звичайні й авансові.

Звичайні (позичкові, декурсивні, postnumerando) проценти нараховуються наприкінці періоду, авансові (антисипативні, дисконтні, облікові, prenumerando) – на початку (така форма розрахунків називається авансовою формою або обліком).

Розглянутим двом видам процентів відповідають і дві процентні ставки:

• звичайна ставка (декурсивна), rate of interest;

• антисипативна (облікова, дисконтна) ставка (discount of rate).

Обидва види процентів можуть нараховуватись по двох схемах:

• схемі простих процентів, при якій проценти нараховуються тільки на початкову суму;

• схемі складних процентів, при якій проценти нараховуються як на початкову суму, так і на проценти, нараховані раніше.

На практиці для стислості застосовують терміни простих і складних процентів. Так, замість того, щоб сказати: „проценти нараховуються за схемою простих (або складних) процентів”, просто говорять: „прості (або складні) проценти”.

З відси випливає, що як позичкові, так і авансові проценти можуть бути і простими, і складними. Цей факт ілюструє малюнок

Визначення майбутньої вартості грошей за рахунок нарахування процентів називається нарощенням грошей або компаудингом; зворотна операція – визначення дійсної вартості майбутніх грошей – називається дисконтуванням.

Останнім часом широке поширення одержали наступні позначення величин у фінансовій математиці, якими ми будемо користуватись:

PV – дійсна вартість грошей (present value);

FV – майбутня або нарощена вартість грошей (future value);

I – прості проценти;

D – авансові проценти;

i – звичайна процентна ставка;

d – дисконтна процентна ставка.

2. Прості проценти

2.1. Нарощення по простій процентній ставці Позичкові проценти

Оскільки прості проценти нараховуються тільки на початкову суму, проценти I₁, нараховані за одиницю часу, дорівнюють:

(2.1)

I₁ = PV · i

Тому нарощена вартість грошей за n періодів є

FV = PV + PV · i + … + PV ·I = PV + PV · n · I = PV (1+ ni)

тут

PV · n · i = I_n

Проценти за n періодів.

Таким чином,

Якщо процентна ставка перемінна, а саме, протягом n₁ періодів процентна ставка дорівнює i₁, протягом n₂ періодів процентна ставка дорівнює i₂, протягом n_k періодів процентна ставка дорівнює i_r, то формула (2.2) прийме вигляд:

Формула (2.3) – це формула для обчислення нарощеної суми грошей у випадку використання схеми простих процентів при перемінній процентній ставці.

Розрахунки з заданим числом періодів зустрічаються рідко. Частіше задається річна ставка і і термін операції, виражений у днях, рідше – у місяцях.

Позначимо термін реалізації через t (time), тривалість року, виражену в тих же одиницях, через y (year). Тоді формула (1.2) прийме вигляд:

де

I = · i · PV

- проценти за час t. У цьому випадку t i y можуть бути обчислені як точно, так і приблизно, відповідно до таблиці 2.1. У фінансових розрахунках, як правило, за звітний період приймається рік.

В залежності від сполучення t i y можуть бути наступні способи розрахунків.

1) Англійська практика: t i y виміряні точно. Метод називається вирахуванням точних процентів з фактичним терміном операції. Для визначення t користуються таблицею порядкових номерів днів у році: з номера дня закінчення операції віднімають день її початку, якщо день видачі і день погашення позички вважається за 1 день.

2) Французька практика: t виміряно точно, а y – приблизно. Метод називається нарахуванням звичайних (комерційних) процентів з фактичним терміном операції. У цьому випадку проценти виходять більшими, ніж у першому, тому що знаменник дробу дорівнює 360, а не 365 або 366. Звичайно по такому принципу ведуться банківські операції.

3) Німецька практика: t i y виміряні приблизно. Метод називається нарахуванням звичайних (комерційних) процентів з наближеним терміном операції. З застосовується при деяких розрахунках з населенням.

Випадок, коли t виміряно приблизно, а y – точно, на практиці не використовується.

Таблиця 2.1.