Закони ламінарного руху рідини

Закон розподілу швидкостей в поперечному перерізі круглої труби.

З метою визначення закону зміни швидкості в поперечному перерізі круглої труби скористуємося формулою Ньютона про внутрішнє тертя в рідині

, (95)

де ― дотичне напруження між двома шарами (або частинками) рідини, на певному радіусі від осі труби;

― динамічний коефіцієнт в’язкості;

― градієнт швидкості;

Знак мінус (в формулі 95) означає, що градієнт швидкості зменшується від осі труби до стінок.

З другого боку така ж сама величина дотичної напруги на радіусі r від осі труби визначається за допомогою основного рівняння рівномірного руху, тобто , де i – гідравлічний ухил.

Тоді ,

де du – зміна швидкості між сукупними частинками (шарами) рідини.

Звідси ,

тоді невизначений інтеграл буде

, де С – стала інтегрування.

Знаходимо С з положення, що на стінці труби швидкість дорівнює нулю. Якщо позначимо r₀ – відстань від осі до стінки труби, то при r = r₀ u = 0.

Тоді , або С = ; звідки:

; (96)

Формула (96) встановлює залежність швидкості в будь-яких точках поперечного перерізу від геометричних і гідродинамічних параметрів потоку і називається формулою Стокса.

З формули виходить, що швидкості при ламінарному русі розподіляються за параболічним законом. Крива розподілу є симетрична парабола (рис. 38, а).

Графічне зображення розподілу дотичних напружень в поперечному перерізі круглої труби [з формули ( ) ] показано на рис. 38, б. На осі при r = 0

(97)

В

Рис. 38

итрата рідини, що здійснюється в поперечному перерізі круглої труби від геометричних і гідродинамічних параметрів потоку.

В

Рис. 38

поперечному перерізі виділимо елементарну площу у вигляді кільця з радіусами r і r+dr (рис. 39). Елементарна витрата рідини крізь це кільце буде

Підставляючи значення швидкості (96) в точці на радіусі r поперечного перерізу дістанемо.

Д

Рис. 39

ля визначення повної витрати рідини крізь поперечний переріз труби в межах зміни r від нуля до радіуса труби r₀ інтегруємо вираз (dQ).

Тобто Q = (98)

Формула (98) встановлює залежність витрати рідини від геометричних і гідродинамічних параметрів потоку.

Середня швидкість в поперечному перерізі круглої труби радіусом r₀ визначається як

. (99)

Порівнюючи величини середньої швидкості з максимальною

,

дістанемо, що середня швидкість в двічі менша за максимальну, тобто

(100)

Закон залежності втрати напору за довжиною від геометричних і гідродинамічних параметрів потоку

Втрата напору за довжиною труби може бути визначена застосовуючи формулу (99).

Представимо цю формулу в залежності від діаметра трубопроводу

.

В формулі i ( гідравлічний уклон або втрата напору, що приходиться на одиницю довжини труби).Тоді втрата напору на довжині l буде

(101)

З формули (101) видно, що втрата напору за довжиною при ламінарному режимі залежить від швидкості v в першій степені.

Помножимо чисельник і знаменник на 2v

, і виконавши певне групування чисел дістанемо наступний вираз

,

де , – коефіцієнт опору тертя за довжиною круглої труби. Тоді

(102)

Формула 102 була отримана Дарсі і Вейсбахом і одержала назву формулою Дарсі – Вейсбаха. Вона є основною трубопровідною формулою і показує залежність втрат напору за довжиною від геометричних і гідродинамічних параметрів потоку.

Залежності для визначення u, Q, v і не точні на початковій ділянці труби, де здійснюється стабілізація параболічного профілю швидкостей. Довжина цієї ділянки залежить від Re і d і знаходиться за формулою Шиллера

(103)