Педагогічний програмний засіб

Тема, мета, короткий зміст, ключові поняття

Література

Змістовий модуль І.

Випадкові події та операції над ними. Статистичні ймовірності.

Аксіоматична побудова теорії ймовірностей

1.1. Випадкові події та операції над ними

Мета: сформувати уявлення про теорію ймовірностей як науку; розвивати у студентів навички логічного і алгоритмічного мислення. Поняття стохастичного експерименту та його результатів

• Стохастичний експеримент. Простір елементарних подій. Побудова простору елементарних подій (початкова модель стохастичного експерименту).

• Поняття випадкової події. Вірогідна та неможливі події.

• Операції над подіями. Простір подій.

• Поняття про стохастичні випробування та їх результати.

Ключові поняття: випадкова подія, класифікація подій, простір елементарних подій, модель стохастичного експерименту, сума, добуток подій, протилежні події, повна група подій.

[1, 1.1-1.4]

[2, п.1.1, с.12‑21]

[3, гл. 1, §1-§2, с. 17‑18]

[5,.гл.6 §1, §2 2.1, 2.2]

1.2. Ймовірність випадкової події. Імовірнісний простір.

Мета: формування уміння створювати моделі аксіоматичних теорій: інтерпретувати поняття, положення та відношення систем аксіом; обґрунтовувати еквівалентність аксіом, перевіряти несуперечливість, повноту, категоричність системи аксіом, незалежність аксіом; засвоєння поняття класичної, статистичної, геометричної ймовірності. Сформувати уявлення про зв'язок між статистичною і класичною ймовірностями.

• Статистичне визначення імовірності.

• Аксіоматичне визначення імовірності. Аксіоматична побудова теорії ймовірностей

• Імовірнісні міри, їх типи та засоби описування

• Імовірнісний простір

• Геометрична імовірність.

• Класичне визначення ймовірності.

Ключові поняття: ймовірність подій, відносна частота події, статистична ймовірність, аксіоматичне означення ймовірності, імовірнісна міра, класична та геометрична ймовірність

[1, 1.5-1.7, 2.1, 2.4]

[2, 1.1.4-1.1.9, с. 21-46]

[3, гл.1,

§3-§8]

[4, гл.1,

§1-§2]

[5. гл.6 §3 ч.2 3.1-3.4]

1.3. Властивості ймовірності. Умовні ймовірності. Залежні і незалежні події.

Мета: засвоєння понять умовна ймовірність і незалежні події; обчислення ймовірності випадкових подій з використанням відповідних формул.

• Властивості ймовірності. Найпростіші формули.

• Ймовірність суми випадкових подій.

• Умовна ймовірність. Незалежність подій.

• Теорема про ймовірність добутку подій

Ключові поняття: ймовірність випадкової події, умовна ймовірність випадкової події, безумовна ймовірність, залежні і незалежні події, незалежні в сукупності події, формули множення залежних і незалежних подій.

[1, 1.7, 2.4-2.6 ]

[2, 1.1.6-1.1.9, с. 30-46]

[3. гл. 2, гл. 3]

[4, гл. 2. §1-§2]

[5. гл.6 §3 ч.2 3.5-3.9]

1.4. Умовні ймовірності. Формула повної ймовірності. Формула Байєса.

Мета: засвоєння понять умовна ймовірність і незалежні події; обчислення ймовірності випадкових подій з використанням відповідних формул.

• Властивості ймовірності.

• Умовна ймовірність. Незалежність подій.

• Формула повної ймовірності

• Формула Байєса.

Ключові поняття: умовна ймовірність випадкової події, залежні і незалежні події, незалежні в сукупності події, формули множення залежних і незалежних подій, формула повної ймовірності, формула Байєса.

[1, 1.7-1.8, 2.6-2.7]

[2, 1.2, с. 57-76]

[3, гл. 3, гл. 4]

[4, гл. 2. §3-§4]

[5. гл.6 §3 ч.2 3.5-3.9]

1.5. Повторні незалежні випробування. Формула Бернуллі.

Мета: засвоєння понять незалежні події, повторні незалежні випробування; обчислення ймовірності подій з використанням відповідних формул; використання формул для обчислення ймовірностей в п незалежних випробуваннях.

• Залежні та незалежні випадкові події.

• Незалежні повторні випробування за схемою Бернуллі

• Формула Бернуллі, найімовірніше число.

• Локальна теорема Муавра-Лапласа.

• Інтегральна формула Лапласа. Використання інтегральної формули

• Формула Пуассона.

Ключові поняття: незалежні випадкові події, схема Бернуллі, найімовірніше число появ події, функція Гаусса, функція Лапласа.

[1

[1, 1.15, 2.8]

[2, 1.3, с. 80-98]

[3, гл. 5. §1-§4]

[4, гл. 3. §1-§5]

[3

Змістовий модуль ІІ

Статистичні ймовірності, їх властивості та розподіли.

Випадкові (одновимірні) величини та розподіли їхніх ймовірностей.

2.1, 2.2. Розподіли статистичних ймовірностей, їх типи та засоби описування.

Мета: Формування поняття одновимірної випадкової величини, законів розподілу; аналіз і дослідження законів розподілу статистичних ймовірностей випадкових величин. Формування уміння виконувати статистичне опрацювання результатів дослідження.

• Поняття дискретного і неперервного розподілів статистичних ймовірностей

• Щільність неперервного розподілу статистичних ймовірностей

• Функція розподілу статистичних ймовірностей дискретного і неперервного розподілів

• Деякі числові характеристики дискретного і неперервного розподілів статистичних ймовірностей (центр розсіювання, дисперсія, середнє квадратичне відхилення)

• Застосування програмних засобів Gran1, Microsoft Office для обчислення характеристик статистичних розподілів.

Ключові поняття: статистична ймовірність події, дискретний і неперервний розподіли статистичних ймовірностей, функції дискретного і неперервного розподілів статистичних ймовірностей, щільність неперервного розподілу статистичних ймовірностей, центр розсіювання, дисперсія, середнє квадратичне відхилення.

[1. 1.9-1.14]

[2, 3.1, с. 303-325]

[3, част 3, гл. 15, §1-§8]

[4, част 3, гл. 9, §1-§3]

2.2, 2.3. Дискретні (одновимірні) випадкові величини.

Мета: Засвоєння понять одномірної дискретної випадкової величини, законів розподілу; аналіз і дослідження законів розподілу ймовірностей випадкових величин.

• Поняття випадкової величини. Дискретні і неперервні випадкові величини.

• Закон розподілу дискретної (одновимірної) випадкової величини.

• Функція розподілу ймовірностей

• Математичне сподівання дискретної випадкової величини.

• Дисперсія дискретної випадкової величини.

• Початкові і центральні теоретичні моменти випадкових величин

Ключові поняття: випадкова величина, функція розподілу ймовірностей, закон розподілу ймовірностей випадкової величини, математичне сподівання, дисперсія, середнє квадратичне відхилення, початковий момент, центральний момент.

[1, 1.16-1.18, 2.9, 2.13]

[2, 2.1, с. 107-140]

[3, част 2, гл. 7-8]

[4, част 2, гл. 4]

[5, гл.6 ч.2 гл.6. §4-7 ]

2.4. Дискретні (одновимірні) випадкові величини. Основні закони розподілу дискретних випадкових величин.

Мета: Засвоєння понять одномірної дискретної випадкової величини, законів розподілу; аналіз і дослідження основних законів розподілу ймовірностей випадкових величин.

• Закон розподілу дискретної (одновимірної) випадкової величини.

• Основні закони розподілу дискретних випадкових величин.

• Числові і графічні характеристики основних законів розподілу дискретних випадкових величин.

Ключові поняття: випадкова величина, функція розподілу ймовірностей, закон розподілу ймовірностей випадкової величини, математичне сподівання, дисперсія, середнє квадратичне відхилення, початковий момент, центральний момент.

[1, 1.20, 2.9, 2.13-2.15]

[2, 2.1, с. 107-140]

[3, част 2, гл. 6-8]

[4, част 2, гл. 4]

[5, гл.6 ч.2 гл.6. §4-7 ]

2.5. Неперервна (одновимірна) випадкова величина.

Мета: Засвоєння поняття неперервної одномірної випадкової величини, законів розподілу; аналіз і дослідження законів розподілу ймовірностей випадкових величин

• Неперервні (одновимірні) випадкові величини.

• Функція розподілу ймовірностей F(x) (інтегральна функція) та її властивості

• Щільність ймовірностей (диференціальна функція) f(x) її властивості, графік.

• Математичне сподівання і дисперсія неперервної випадкової величини.

• Поняття про моменти випадкових величин

Ключові поняття: неперервна випадкова величина, функція розподілу ймовірностей, щільність розподілу ймовірностей, математичне сподівання, дисперсія, середнє квадратичне відхилення, початковий і центральний моменти.

[1, 1.12-1.14, 2.2, 2.14-2.15]

[2, 2.2, с. 149 -194]

[3, част 2, гл. 10-11]

[4, част 2, гл. 6, §1-§3]

[5, гл.6 ч.2 гл.6. §4-7 ]

2.6. Важливі закони розподілу неперервних (одновимірних) випадкових величин.

Мета: Засвоєння поняття неперервної одномірної випадкової величини, законів розподілу; аналіз і дослідження законів розподілу ймовірностей випадкових величин

• Важливі розподіли неперервних випадкових величин. Параметри законів розподілу рівномірного, експоненціального, нормального.

• Функція розподілу ймовірностей F(x)

• Функція надійності

• Приклади використання важливих розподілів

Ключові поняття: неперервна випадкова величина, функція розподілу ймовірностей, щільність ймовірностей, математичне сподівання, дисперсія, середнє квадратичне відхилення, розподіл неперервної випадкової величини

[1, 1.12-1.14, 2.2, 2.14-2.15]

[2, 2.2, с. 149 -194]

[3, част 2, гл. 10-11, 13]

[4, част 2, гл. 6, §4-§7]

[5, гл.6 ч.2 гл.6. §4-7 ]

2.7. Одновимірний нормальний розподіл ймовірностей.

Мета: Засвоєння поняття одновимірного нормального розподілу ймовірностей; формування уміння використовувати характеристики нормального розподілу для розв’язування задач

• Одновимірний нормальний розподіл ймовірностей

• Функція розподілу ймовірностей, функція Лапласа

• Математичне сподівання і дисперсія нормального розподілу

• Ймовірність попадання в заданий інтервал нормальної випадкової величини

• Обчислення ймовірності заданого відхилення

• Правило трьох сигм

• Оцінка відхилення теоретичного розподілу від нормального. Асиметрія і ексцес.

Ключові поняття: одновимірний нормальний розподіл ймовірностей, неперервна випадкова величина, функція розподілу ймовірностей, щільність ймовірностей, математичне сподівання, дисперсія, середнє квадратичне відхилення, асиметрія, ексцес.

[1, 1.20, 2.15-2.16]

[2, 2.2, с. 149 -194]

[3, част 2, гл. 12]

[4, част 2, гл. 6, §5]

[5, гл.6 ч.2 гл.6. §4-7 ]

Змістовий модуль ІІІ

Випадкові вектори. Система двох випадкових величин.

3.1. Розподіли ймовірностей випадкових векторів.

Мета Сформувати уявлення про багатовимірні, двовимірні випадкові величини, їх закони розподілу

• Випадкові вектори. Розподіли ймовірностей випадкових векторів

• Двовимірні випадкові величини. Закони розподілу ймовірностей.

• Функція розподілу ймовірностей двовимірної випадкової величини

• Щільність сумісного розподілу ймовірностей неперервної

• двовимірної випадкової величини.

• Щільність розподілу складових.

Ключові поняття: випадкові вектори, двовимірні випадкові величини, щільність сумісного розподілу ймовірностей, щільність розподілу ймовірностей складових,

[1, 2.3, 2.10-2.12, 3.4]

[2, 2.4, с. 225-270]

[3, глава 14, §1-§12]

[4, глава 8]

3.2. Умовні закони розподілу ймовірностей випадкових векторів. Залежні і незалежні випадкові величини.

Мета Сформувати уявлення про залежні і незалежні двовимірні випадкові величини, умовні закони розподілу

• Двовимірні випадкові величини. Закони розподілу ймовірностей.

• Залежні і незалежні випадкові величини.

• Умовні закони розподілу ймовірностей дискретних і неперервних випадкових величин.

Ключові поняття: випадкові вектори, двовимірні випадкові величини, щільність сумісного розподілу ймовірностей, щільність розподілу ймовірностей складових, умовний закон розподілу, щільність неперервного умовного розподілу ймовірностей.

[1, 2.3, 2.10-2.12, 3.4-3.6]

[2, 2.4, с. 238-270]

[3, глава 14, §13-§16]

[4, глава 8]

3.2. Числові характеристики розподілів ймовірностей випадкових векторів.

Мета Сформувати уявлення про залежні і незалежні двовимірні випадкові величини, умовні закони розподілу

• Числові характеристики двовимірної випадкової величини.

• Коваріація і коефіцієнт кореляції.

• Умовні числові характеристики двовимірної випадкової величини. Регресія.

Ключові поняття: двовимірні випадкові величини, щільність сумісного розподілу ймовірностей, щільність розподілу ймовірностей складових, умовний закон розподілу, щільність неперервного умовного розподілу ймовірностей, математичне сподівання, дисперсія, середнє квадратичне відхилення, умовне математичне сподівання, кореляційний момент, коефіцієнт кореляції.

[1, 2.13-14, 3.7-3.13]

[2, 2.4, с. 238-270]

[3, глава 14, §13-§21]

[4, глава 8]

3.4. Функції випадкових аргументів. Поняття про випадкові процеси.

Мета Сформувати уявлення про функції випадкових аргументів

• Функції одного і двох випадкових аргументів і їх розподіл.

• Математичне сподівання функції одного випадкового аргументу.

• Поняття про випадкові процеси.

Ключові поняття: функції випадкових аргументів та їх розподіл, математичне сподівання функції випадкового аргументу, розподіл функції випадкового аргументу, випадковий процес.

[1, 3.3-3.4, 3.14-3.15]

[2, 2.5, с. 280-294]

[3, глава 12, §13-§21]

[4, глава 7]

Змістовий модуль ІV

Закон великих чисел

4.2. Закон великих чисел. Теорема Чебишова.

Мета Формування умінь застосовувати закон великих чисел до розв’язування задач, спираючись на матеріальні носії інформації щодо неї, оцінювання достовірності результатів експериментального дослідження за заданих умов

• Нерівність Чебишова та її застосування.

• Теорема Чебишова.

• Теорема Хінчина.

• Теорема Бернуллі.

Ключові слова: закон великих чисел, нерівність Чебишова, теорема Чебишова, теорема Бернуллі.

[1. § 4.1−§ 4.3]

[3. глава 9]

4.3. Граничні теореми теорії імовірності

Мета Формування умінь застосовувати закон великих чисел до розв’язування задач, спираючись на матеріальні носії інформації щодо неї, оцінювання достовірності результатів експериментального дослідження за заданих умов

• Центральна гранична теорема.

• Асимптотичні теореми Муавра-Лапласа. Теорема Пуассона.

Ключові слова: закон великих чисел, нерівність Чебишова, теорема Чебишова, теорема Бернуллі, центральна гранична теорема, теорема Муавра-Лапласа, теорема Пуассона

[1, 1.19, 4.1-4.3]

[2, 2.3, с. 206-226]

[3, глава 9, глава 12, §8]

Змістовий модуль V

Елементи математичної статистики

5.1 Статистичні оцінки параметрів розподілу ймовірностей

Мета: формування уміння обирати методику і виконувати статистичне опрацювання результатів вимірювання фізичної величини, уміння виконати математичне і статистичне опрацювання результатів експериментального дослідження.

• Основні задачі математичної статистики.

• Аналіз варіаційних рядів. Генеральна сукупність і вибірка.

• Статистичні точкові оцінки (незміщена, ефективна, несуперечлива)

• Точкові статистичні оцінки параметрів генеральної сукупності за її вибіркою.

• Метод моментів і метод найбільшої правдоподібності оцінювання параметрів розподілу.

• Статистичне опрацювання варіаційних рядів за допомогою програмних засобів Gran1, Microsoft Excel

Ключові слова: Генеральна і вибіркова сукупності, статистичний розподіл вибірки (дискретний, неперервний), полігон частот, гістограма, відносна частота, середня вибіркова, дисперсія, середнє квадратичне відхилення, розмах варіації, мода, медіана, статистична оцінка, виправлена дисперсія, виправлене середнє квадратичне відхилення.

[1, 5.1-5.3]

[2, 3.1-3.2, с. 300-350]

[3, гл.15, гл. 16, §1-13, 21-22]

[4, гл.9, гл. 10, §1-3]

5.2. Інтервальні оцінки параметрів розподілу

Мета: формування уміння знаходити довірчу ймовірність, інтервальні оцінки невідомих параметрів розподілу; визначати точність проведених вимірювань фізичної величини за заданих умов одержання надійних результатів вимірювання, формувати уміння оцінити достовірність результатів експериментального дослідження за заданих умов

• Алгоритми обчислення довірчого інтервалу

• Задача про інтервальне оцінювання параметрів розподілу

• Інтервальне оцінювання математичного сподіванння нормально розподіленої величини

• Інтервальне оцінювання дисперсії і середнього квадратичного відхилення нормально розподіленої випадкової величини

Ключові поняття: нормальний розподіл ймовірностей, інтервальні оцінки, довірча ймовірність, довірчий інтервал

[1, 5.4]

[2, 3.3, с. 350-370]

[3, гл.15, гл. 16, §14-20]

[4, гл.9, гл. 10, §4]

5.3. Перевірка статистичних гіпотез.

Критерії перевірки гіпотези про невідомі параметри відомого закону розподілу.

Мета: формування уміння перевіряти статистичні гіпотези за допомогою загальної схеми про невідомі параметри відомого закону розподілу

• Нульова і альтернативна гіпотеза

• Статистичний критерій. Емпіричне значення критеріїв

• Область прийняття гіпотези. Критична область. Критична точка

• Загальна схема перевірки статистичних гіпотез.

• Критерій Фішера-Снедекора,

• Критерій порівняння невідомих середніх.

Ключові поняття: Статистична гіпотеза (нульова, альтернативна), статистичний критерій, правильна і неправильна гіпотеза, помилки І і II роду, область прийняття гіпотез, критична область, критерій Фішера-Снедекора, критерій порівняння середніх.

[1, 5.5]

[2, 3.4, с. 375-420]

[3, гл.19]

[4, гл.13]

5.4. Критерії перевірки статистичних гіпотез про невідомий закон розподілу

Мета: формування уміння перевіряти статистичні гіпотези за допомогою загальної схеми про невідомий закон розподілу

• Загальна схема перевірки статистичних гіпотез

• Критерій узгодження Пірсона

• Критерій узгодження Колмогорова

Ключові поняття: статистична гіпотеза , статистичний критерій, правильна і неправильна гіпотеза, помилки І і II роду, область прийняття гіпотез, критична область, критерій Пірсона, критерій Колмогорова

[1, 3.10-3.13]

[2, 3.5, с. 429-450]

[3, гл.18]

[4, гл.12]

5.5. Елементи кореляційного та регресійного аналізу

Мета: Формувати уміння встановлювати зв'язок між змінними величинами, розрізняти види залежностей функціональну, статистичну, кореляційну; знаходити рівняння зв'язку (регресії), визначити тісноту кореляційного зв'язку, робити висновки.

• Функціональна, статистична та кореляційна залежності для двовимірних статистичних розподілів.

• Емпірична лінія регресії. Метод найменших квадратів.

• Лінійна регресія. Лінійне рівняння регресії.

• Коефіцієнт кореляції і його властивості.

• Криволінійна регресія.

Ключові поняття: статистична і кореляційна залежності, коефіцієнт регресії, кореляції, кореляційне відношення, вибіркове рівняння регресії

[1, 3.10-3.13]

[2, 3.5, с. 429-450]

[3, гл.18]

[4, гл.12]

5.6. Статистичне опрацювання результатів педагогічних досліджень

Мета: для виконання завдання на організацію і наукового дослідження певної проблеми формувати уміння поєднувати емпіричні і теоретичні методи дослідження математичних і педагогічних систем у конкретних дослідницьких методиках; формування наукового світогляду студентів у процесі вивчення теорії ймовірностей, математичної статистики та методів побудови емпіричних формул в наукових дослідженнях.

• Структура педагогічного експерименту

• Схема експериментального педагогічного дослідження

• Шкали вимірювань: шкала відношень, шкала порядку.

• Методи описової статистики.

• Критерій порівняння середніх, критерій порівняння однорідності вибірок (Вілкоксона-Манна-Уїтні), критерій однорідності для порядкової шкали («хі-квадрат»), критерій Фішера (для дихотомічної шкали).

Ключові поняття: педагогічне дослідження, гіпотеза дослідження, репрезентативна вибірка, однорідність вибірок, контрольна і експериментальна групи, порядкова шкала вимірювань, шкала відношень, методи описової статистики, статистична перевірка гіпотез, статистичні висновки

[3; 13; 14; 15]

5.7. Поняття про методи статистичних випробувань. Метод Монте-Карло

Мета: сформувати уявлення про метод статистичного моделювання (метод Монте-Карло) для розв’язування задач практичного змісту.

• Імітаційні моделі. Генератор випадкових чисел.

• Генератор дискретної, неперервної випадкової величини.

• Метод обернених функцій, метод суперпозиції.

• Задача наближеного визначення площі фігури, довжини кривої, об’єму тіла та інші.

Ключові поняття: таблиця випадкових чисел, генератор випадкових чисел, методи розіграшу, метод оберненої функції, метод суперпозиції.

[1, 5.6]

[3, гл.21]

[4, гл.15]