§3.Построение графиков и исследование функций со знаком модуля.

Пример 1

Исследовать и построить график функции:

у=

Решение:

y=

1. D(f)=(-∞;0)∪(0;+∞)

2. E(f)={-1;1}

3. корней нет

4. чётностьнечётность: f(x)=; f(-x)==-f(x)функция нечётная

5. наибольшее значение: у=1; наименьшее значение у=-1extr нет

6. функция кусочно- постоянная

х

у

1

-1

Пример 2

Исследовать и построить график функции:

у=+1

Решение:

y=

1. D(f)=(-∞;1)∪(1;+∞)

2. E(f)={0;2}

3. множество корней: (-∞;1)

4. чётностьнечётность: f(x)≠функция общего вида

5. наибольшее значение: у=2; наименьшее значение у=0extr нет

6. функция кусочно- постоянная

   у

х

2

1

0

Пример 3

Исследовать и построить график функции:

y=+x-1.

Решение:

у=

1)D(f)=(-∞;0,5)∪(0,5;+∞)

В точке х=0,5 функция имеет разрыв .Исследуем поведение функции вблизи точки разрыва.

(предельное значение функции слева от точки разрыва, т.к. при х0,5 у=х-3)

(предельное значение функции справа от точки разрыва, т.к. при х>0,5 у=х+1)

Построим график этой функции, а затем продолжим исследование.

у=х+1; у(1)=2; у(0,5)=1,5точка разрыва справа.

у=х-3; у(0)=-3; у(0,5)=-2,5точка разрыва слева

х

у

1.5

-2,5

у=х+1

у=х-3

0.5

2. E(f)=(-∞;-2,5)∪(1,5;+∞)

3. корней нет

4. чётностьнечётность: f(x)≠функция общего вида

5. функция строго возрастает extr нет

Пример 4 (самостоятельно)

Исследовать и построить график функции:

у=

Пример 5 (самостоятельно)

Исследовать и построить график функции:

у=5-

Пример 6 (самостоятельно)

Исследовать и построить график функции:

у=х+1-

Пример 7

Исследовать и построить график функции:

у=

Решение:

у=

1. D(f)=(-∞;-1)∪(-1;+∞)

2. E(f)={-2.8;2}

3. множество корней: корней нет

4. чётностьнечётность: f(x)≠функция общего вида

5. наибольшее значение: у=2; наименьшее значение у=-2,8extr нет

6. функция кусочно- постоянная

2

у

х

-2,8

Пример 8

Исследовать и построить график функции:

у=-3

Решение:

у=3-3  у=0 при х>2

у

1)D(f)=(2;+∞)

2)E(f)={0}

2

3)множество корней: (2;+∞)

х

4)функция общего вида

5)постоянная:у=0

Пример 9

Исследовать и построить график функции:

у=-

Решение:

у=

1

у

1. D(f)=(-∞;-2)∪(-2;+∞)

   -2

2. E(f)={-1;1}

   х

   -1

3. множество корней: корней нет

4. чётностьнечётность: f(x)≠функция общего вида

5. наибольшее значение: у=1; наименьшее значение у=-1extr нет

6. функция кусочно- постоянная

Пример 10

Исследовать и построить график функции

у=

Решение:

у

1)D(f)=(0;1)∪(1;+∞) y=-1+1y=0

2)E(f)={0)

3) множество корней: (0;1)∪(1;+∞)

0

1

4)функция общего вида

х

5)постоянная

Пример 11

Исследовать и построить график функции

у=

Решение:

1)D(f)=(-∞;-1)∪(-1;0)∪(0;1)∪(1;+∞)

у=

 y=2-2x

2)Вычислим значения функции в точках разрыва (выколотые точки)

у(-1)=4; у(0)=2; у(1)=0 E(f)=(-∞;0)∪(0;2)∪(2;4)∪(4;+∞)

3) корней нет

4) функция общего вида: f(x)≠

5) строго убывает

6) экстремумов нет

у

4

1

-1

х

2

Пример 12 (самостоятельно)

Исследовать и построить график функции:

у=2-

Пример 13 (самостоятельно)

Исследовать и построить график функции:

у=-5+х

Пример 14 (самостоятельно)

Исследовать и построить график функции:

у=

Пример 15 (самостоятельно)

Исследовать и построить график функции:

у=-х-3.