- •Оглавление
- •§1 Основные понятия……………………………………………………………………………………………………………………………….2526
- •§2 Решение примеров…………………………………………………………………………………………………………………………….2634
- •§11 Решение примеров………………………………………………………………………………………………………189213
- •Глава 1. Числовые множества.
- •§1 Основные понятия.
- •2; ()2; ()3;…;;…, То с ростом n значения последовательности будут возрастать, но никогда не будут больше числа 3. Такая последовательность имеет предел, который равен иррациональному числу е.
- •§2 Решение задач.
- •Глава 2. Модуль вещественного числа. Решение уравнений и неравенств со знаком модуля.
- •§1 Простейшие уравнения со знаком модуля.
- •Пример 3 Решить уравнения:
- •Решения:
- •§2 Простейшие неравенства со знаком модуля.
- •Пример 1 Решить следующие неравенства:
- •Глава 3. Элементы теории множеств.
- •§1Основные понятия.
- •§2 Решение примеров.
- •Глава 4. Отображение множеств. Виды отображений.
- •§1 Основные понятия и определения.
- •1.Отображение множества а в множество в (общий случай).
- •2.Сюръекция ( отображение множества а на множество в)
- •Решение:
- •§2 Решение примеров.
- •Глава 5.Числовые функции и их свойства.
- •§1 Определение числовой функции. Основные свойства.
- •§2 «Полезные» функции
- •Пример 1 Построить график и провести исследование по предложенной выше схеме.
- •Пример 2
- •§3.Построение графиков и исследование функций со знаком модуля.
- •Глава 6. Построение линий и областей на плоскости, заданных уравнениями и неравенствами.
- •§1.Прямая на плоскости.
- •Уравнение прямой с угловым коэффициентом и начальной ординатой:
- •Уравнение прямой с угловым коэффициентом и проходящей через точку (х0;у0):
- •Уравнение прямой, проходящей через две точки м1(х1;у1) и м2(х2;у2).
- •§2.Уравнение окружности.
- •§3.Построение линий и областей на координатной плоскости.
- •§4. Множества на плоскости.
- •Задача 2.
- •Решение:
- •Задача 3 (самостоятельно)
- •Глава 7. Элементарные функции.
- •§1 Линейная функция.
- •§2 Обратная пропорциональная зависимость.
- •Чётностьнечётность.
- •Промежутки монотонности
- •6.Экстремумов нет, т.К. Функция строго монотонна.
- •1.Новая ось (оу) проходит через точку (-1;0)
- •2.Новая ось (ох) проходит через точку (0;2).
- •Область определения функции:
- •Чётностьнечётность.
- •Чётностьнечётность.
- •§3 Дробнолинейная функция
- •5.Экстремумов нет.
- •4. F(X)≠функция общего вида
- •6.Экстремумов нет.
- •Область определения функции:
- •3): У≠0 корней нет.
- •§4 Степенная функция.
- •На интервале (-∞;0) функция убывает
- •На интервале (-∞;0) функция убывает,
- •§5. Квадратичная функция.
- •Пример 1.
- •Решение:
- •Пример 3.
- •Решение:
- •Найдите значение параметра а. Постройте график функции и найдите минимальное(максимальное) значение функции:
- •Пример 6 (самостоятельно).
- •Пример 7.
- •Решение:
- •§6.Показательная функция.
- •Корней нет, т.К. У≠0.
- •Функция общего вида.
- •Экстремумов нет.
- •Нет корней, т.К. У≠0.
- •Функция чётная .
- •Определить вид отображения (построить график).
- •Определить вид отображения (построить график).
- •Определить вид отображения (построить график).
- •Определить вид отображения (построить график).
- •§7. Логарифмическая функция.
- •Полезные формулы.
- •Докажем это утверждение основываясь на теореме об обратной функции.
- •§8.Сложная функция.
- •1)Если обе функции f и g возрастают,
- •2)Если обе функции f и g убывают,
- •3)Если одна из функций возрастает, а другая убывает,
- •4) Общего вида.
- •Общего вида.
- •4)Чётная функция.
- •§9.Обратные функции.
- •4.Функция непрерывная и строго возрастает
- •5.Находим формулу обратной функции, выражая переменную х через у.
- •Глава 8. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции и их свойства.
- •§1.Периодические функции и их свойства.
- •§2.Определение тригонометрических функций.
- •Экстремумов нет.
- •Экстремумов нет.
- •3.Убывает и непрерывна. -1
- •2.Множество значений функции: (-.
- •3.Убывает и непрерывна.
- •2.Множество значений функции:(0;π);
- •4.Функция общего вида.
- •§11.Решение примеров.
- •Пример15 (самостоятельно). Найти периоды данных функций и вычислить значения функций в указанных точках.
- •Пример16. Найти периоды данных функций.
- •Решение:
§9.Обратные функции.
Примечание:
Основные понятия об обратной функции
были рассмотрены в главе 4.
Пример 1.
Найти D(f-1) по заданной функции y=f(x), если
у=-2.
Решение:
Т.к функция у=-2 строго возрастает на всей числовой оси, то существует обратная функция и при этом:
D(f-1)=E(f)E(f)=(-2;+∞)=D(f-1).
Ответ: (-2;+∞).
Пример 2.
Найти D(f-1) по заданной функции y=f(x), если
у=+2.
Решение:
Т.к. функция у=+2 строго возрастает при х5/3, то существует обратная функция и при этом:
D(f-1)=E(f)E(f)=[2;+∞)=D(f-1).
Ответ: [2;+∞).
Пример 3.
Найти D(f-1) по заданной функции y=f(x), если
у=5-(х+2)3.
Решение:
Т.к. функция у=5-(х+2)3.строго убывает на всей числовой оси, то существует обратная функция и при этом:
D(f-1)=E(f)E(f)=(-∞;+∞)=D(f-1).
Ответ: (-∞;+∞).
Пример 4.
Найти D(f-1) по заданной функции y=f(x), если
у= +3.
Решение:
Т.к. функция у= +3 строго возрастает на всей числовой оси, то существует обратная функция и при этом:
D(f-1)=E(f)E(f)=(-∞;+∞)=D(f-1).
Ответ: (-∞;+∞).
Пример 5 (самостоятельно).
Найти D(f-1) по заданной функции y=f(x), если
у=4- .
Ответ: (-∞;4).
Пример 6(самостоятельно).
Найти D(f-1) по заданной функции y=f(x), если
у=.
Ответ: [-5;+∞).
Пример 7 (самостоятельно).
Найти D(f-1) по заданной функции y=f(x), если
у=3-.
Ответ:(-∞;+∞)
Пример 8 (самостоятельно).
Найти D(f-1) по заданной функции y=f(x), если
у=+5.
Ответ: [5;+∞).
Пример 9.
Найти E(f-1)по заданной функции у=f(x), если
у=3-
Решение:
Функция у=3- задана в области D(f)=(-∞;4).
Данная функция строго монотонна, а именно, возрастает.
Сделаем контрольную проверку.
Пусть х1=3 f(3)=3; x2=2f(2)=2.
x1>x2f(x1)>f(x2)функция возрастает.
Следовательно, существует обратная функция, при этом
E(f-1)=D(f)=(-∞;4).
Ответ: (-∞;4).
Пример 10.
Найти E(f-1)по заданной функции у=f(x), если
у=+1.
Решение:
Функция у=+1 задана в области D(f)=(-∞;2,5]
Данная функция строго монотонна, а именно убывает.
Сделаем контрольную проверку.
Пусть х1=2 f(2)=1; x2=-2f(-2)=3.
x1>x2f(x1)f(x2)функция убывает.
Следовательно, существует обратная функция, при этом
E(f-1)=D(f)=(-∞;2,5]
Ответ:(-∞;2,5].
Пример 11.
Найти E(f-1)по заданной функции у=f(x), если
у= .
Решение:
Функция у= задана в области D(f)=(-∞;-5)∪(-5;+∞) и строго убывает.
Схема графика:
у
х
-5
Следовательно, существует обратная функция, при этом
E(f-1)=D(f)=(-∞;-5)∪(-5;+∞)
Ответ: )=(-∞;-5)∪(-5;+∞)
Пример 12.
Найти E(f-1)по заданной функции у=f(x), если
у= .
Решение:
Функция у= задана в области D(f)=(-∞;].
Данная функция строго монотонна, а именно убывает.
Сделаем контрольную проверку.
Пусть х1=2 f(2)=-1; x2=1f(1)=6.
x1>x2f(x1)f(x2)функция убывает.
Следовательно, существует обратная функция, при этом
E(f-1)=D(f)=(-∞;]
Ответ: (-∞;]
Пример 13 (самостоятельно).
Найти E(f-1)по заданной функции у=f(x), если
у=.
Ответ: (-∞;-)∪(- ;+∞).
Пример 14 (самостоятельно).
Найти E(f-1)по заданной функции у=f(x), если
у=.
Ответ: (-∞;).
Пример 15.
Найти E(f-1)по заданной функции у=f(x), если
у=-4.
Ответ: (-∞;5,5].
Пример 16 (самостоятельно).
Найти E(f-1)по заданной функции у=f(x), если
у=-5.
Ответ: (-∞;+∞).
Пример 17.
Дано: у=-2.
Найти: 1)обратную функцию;2) построить графики функций f(x)и f-1(x).
Решение:
1.Построим график функции у=-2 (можно использовать преобразования графиков: (1) у=; (2) у=-2).
Схема данного графика:
у
-2
-2
х
1
f-1
f
1
y=x
2.D(f)=(-∞;+∞)
3.E(f)=(-2;+∞); у=-2горизонтальная асимптота.