ПРАКТИКУМ

Адаптационный курс по математике

Пособие содержит примеры и задачи по основам теории множеств и свойствам функций.

Н.П. Анисимова

Оглавление

Глава 1 Числовые множества

§1 Основные понятия 46

§2 Решение примеров 611

Глава 2 Модуль вещественного числа. Решение уравнений и неравенств со знаком модуля.

§1 Простейшие уравнения со знаком модуля. 1216

§2 Простейшие неравенства со знаком модуля…………………………………………………………..1724

Глава 3 Элементы теории множеств.

§1 Основные понятия……………………………………………………………………………………………………………………………….2526

§2 Решение примеров…………………………………………………………………………………………………………………………….2634

Глава 4. Отображение множеств. Виды отображений…………………………………………………………

§1 Основные понятия и определения. Виды отображений………………………………………………3544

§2 Решение примеров……………………………………………………………………………………………………………………………4445

Глава 5. Числовые функции и их свойства……………………………………………………………………

§1 Определение числовой функции. Основные свойства…………………………………………………4650

§2 «Полезные функции»……………………………………………………………………………………………………5056

§3 Построение графиков и исследование функций со знаком модуля……………………………5763

Глава 6. Построение линий и областей на плоскости, заданных уравнениями и неравенствами.

§1 Прямая на плоскости……………………………………………………………………………………………………6466

§2 Уравнение окружности…………………………………………………………………………………………………68

§3 Построение линий и областей на координатной плоскости………………………………………6875

§4 Множества на плоскости………………………………………………………………………………………………7681

Глава 7. Элементарные функции.

§1 Линейная функция………………………………………………………………………………………………………8287

§2 Обратная пропорциональная зависимость………………………………………………………………8794

§3 Дробно-линейная функция…………………………………………………………………………………………9499

§4 Степенная функция……………………………………………………………………………………………………100109

§5 Квадратичная функция………………………………………………………………………………………………110129

§6 Показательная функция……………………………………………………………………………………………130136

§7 Логарифмическая функция………………………………………………………………………………………136150

§8 Сложные функции……………………………………………………………………………………………………151156

§9 Обратные функции…………………………………………………………………………………………………157171

Глава 8.Тригонометрические и обратные тригонометрические функции и их свойства.

§1 Периодические функции и их свойства…………………………………………………………………172173

§2 Определение тригонометрических функций………………………………………………………. 173176

§3 Функция y=………………………………………………………………………………………………………176177

§4 Функция y=………………………………………………………………………………………………………177178

§5 Функция y=tg x…………………………………………………………………………………………………………178179

§6 Функция y=ctg x…………………………………………………………………………………………………………179180

§7 Функция y=arcsin x………………………………………………………………………………………………………181182

§8 Функция y=arccos x………………………………………………………………………………………………………183184

§9 Функция y=arctg x…………………………………………………………………………………………………………185186

§10 Функция y=arcctg x………………………………………………………………………………………………………187188

§11 Решение примеров………………………………………………………………………………………………………189213

Приложения.__________________________________________________________-214216

Глава 1. Числовые множества.

§1 Основные понятия.

Множество натуральных чисел.

1

N={1, 2, 3,…,n ,…}

Это множество замкнуто относительно сложения и умножения, т.е. эти действия выполняются всегда, а вычитание и деление в общем случае не выполняются.

2

Множество целых чисел.

Z={…, -n,…,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…, n,…}

Заметим, что число -n называется противоположным числу n.

n+(-n)=(-n)+n =0; -(-n)=n.

Это множество замкнуто относительно сложения, вычитания и умножения.

Из множества целых чисел выделим два подмножества:

1. множество чётных чисел {2k  k Z}

2. множество нечётных чисел { 2k +1 kZ}.

Деление с остатком

Говорят, что целое число m делится на целое число n с остатком, если найдутся два числа q (частное) и r (остаток) такие что выполняется равенство:

m=n.q+r, где 0≤rn

3

Множество рациональных чисел.

Q={ mZ; nN} , в частности =mZ.

Множество рациональных чисел замкнуто относительно сложения, вычитания, умножения и деления ( кроме случая деления на ноль).

Заметим, что всякое рациональное число можно представить в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби.

4

Множество иррациональных чисел.

Числа, которые представляются бесконечной непериодической десятичной дробью, называют иррациональными.

Для иррациональных чисел нет единой формы обозначения.

Отметим два иррациональных числа, которые обозначаются буквами.

Число π

Отношение длины окружности к диаметру есть величина постоянная, равная числу π(π).

Число е

Если рассмотреть числовую последовательность: