2; ()2; ()3;…;;…, То с ростом n значения последовательности будут возрастать, но никогда не будут больше числа 3. Такая последовательность имеет предел, который равен иррациональному числу е.
=е
Обозначим
множество иррациональных чисел
.
5
Множество вещественных чисел.
Множество вещественных чисел это объединение множества рациональных и иррациональных чисел.
R=Q
;
Q
=
;
N
ZQR.
N
Z
Q
R
§2 Решение задач.
Пример 1
Найти все натуральные решения неравенства:
-
x2-5x+6≤0.
-
.(x-4)0.
Решение.
-
+
+
-
x2-5x+6≤0
(x-2).(x-3)≤0.
2
3
Ответ:{2; 3}
-
.(x-4)0
.
Ответ: {4; 5}
Пример 2
Дано:
A={xN
x2-5x+4≤
0}; B={xZ
≤2}.
Найти:1) С=А
D=A
.
Решение.
+
x2-5x+4≤ 0(x-4).(x-1)≤ 0
-
1
4
+
A={1;2;3;4}.
≤2
0≤
x≤
4
{0;
1; 2; 3; 4}
С=В
{0;
1; 2; 3; 4}
;D=A={1;2;3;4}.
Дано: А={xZ
≤
0}; B={xN
≤0}.
Найти: 1) С=А
D=A
Решение
-1 2 6 7
A={0;1;2;6}
≤0
X3-8=0
X=2
B={2}, Ответ: С=А={0;1;2;6}; D=B={2}.
Пример 4
После деления некоторого двузначного числа на сумму цифр в частном получается 7 и в остатке 6 . После деления этого числа на произведение его цифр в частном получается 3 и в остатке 11. Найдите это двузначное число.
Решение
Двузначное число
обозначим
=10х+у.
О.Д.З. х{1;2;3;4;5;6;7;8;9}; y{1;2;3;4;5;6;7;8;9}
По условию:
.
Ответ: 83
Полезная информация
Если уравнение с целыми коэффициентами имеет корень, то его можно найти , используя следующую теорему.
Теорема
Если уравнение
a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an=0, в котором все коэффициенты целые числа, причём свободный член отличен от нуля, имеет целый корень, то этот корень является делителем свободного члена.
Пример 5
Решить уравнение:
636х2+635х-1=0.
Решение:
Если уравнение имеет целый корень, то он является делителем числа
-1, т.е. равен 1 или -1. Проверка показывает, что х1=-1.
По формулам Виета
имеем: х1*х2=-
х2=
.
Ответ:{-1;
}
Пример 6
При каких значениях
параметра «а» число
является корнем уравнения х4-2х2+3а=0?
Решение:
Пусть х2=tt2-2t+3a=0.
По формулам Виета:
Если х=
корень уравнения, то t1=x2=2-
t2=2-t1
a=
-1.
Ответ:
a=
-1.
Следующие примеры решите самостоятельно.
Пример 7
Найти все натуральные решения неравенств:
-
–х4+8х2+9> 0;
-
0.
Ответ: 1){1;2}; 2) {1;2}
Пример 8
Дано:
A={xN
x2-7x-8≤
0}; B={xZ
≤3}
Найти:
1) С=А
2)D=A
.
Ответ: С={-3;-2;-1;0;1;2;3;4;5;6;7;8}; D={1;2;3;4;5;6}.
Пример 9
Дано:
A={xZ
≤
0}; B={xN
}.
Найти:
1) С=А
2)D=A
.
Ответ: С={-1;0;1;7;8;9;10}; D={-1;1}
Пример 10
Если двузначное число разделить на сумму его цифр, то получится в частном 4 и в остатке 3. Если это число разделить на произведение его цифр, то получится в частном 3 и в остатке 5.
Найдите это двузначное число.
Ответ: 23
Пример 11
Решить уравнения:
-
2002х2-2001х-1=0;
57х2-101х-26=0.
Ответ:1)
{1;-
};2)
{2;-
}.
Пример 12
При каких значениях
параметра «а» число
является корнем уравнения: х4-6х2+4а2=0?
Ответ:а=-1;а=1.