-
E(f)
-
Определить вид отображения (построить график).
Ответ:E(f)=[-
;0];
биекция.
Пример8.(Самостоятельно)
Дано:
у=
+1
Найти:
-
E(f)
-
Определить вид отображения (построить график).
Ответ:E(f)=[1;10]; сюръекция.
§7. Логарифмическая функция.
Напомним определение логарифма числа «х» по основанию «а».
Определение:
Логарифмом числа «х» по основанию «а» называется показатель степени, в которую нужно возвести основание «а», чтобы получить число «х».
=b
=x;
a>0;a≠1.
Примечание:
Из определения логарифма следует, что х>0, т.е. логарифмы существуют только для положительных чисел.
Основное логарифмическое тождество.
=х
Наиболее часто встречаются логарифмы
-
по основанию 10 (десятичные логарифмы)обозначают lg x
-
по основанию е (натуральные логарифмы)обозначают
Основные свойства логарифмов.
|
Условие |
Формула |
|
а>0; a≠1 |
|
|
а>0; a≠1 x>0;y>0 |
|
|
а>0; a≠1 (xy)>0 |
|
|
а>0; a≠1 x>0; y>0 |
|
|
а>0; a≠1 (xy)>0 |
|
|
а>0; a≠1 x>0 |
|
|
а>0; a≠1
|
|
|
x>0 |
|
|
xk>0 |
|
|
a>0; a≠1 x>0 |
|
|
Xk>0 |
|
|
a>0;a≠1;b>0;b≠1 x>0 |
Формула перехода к другому основанию |
|
|
Частный случай:
|
=k
=
=
>0
Полезные формулы.
=
;f(x)>0;
g(x)>0.
Логарифмическая
функция у=
является обратной для показательной
функции у=
.
Докажем это утверждение основываясь на теореме об обратной функции.
Пусть
задана показательная функция у=ах;
а>0;
а≠1.
у
у
0а1
х
х
1
1
а>1
Проверим все условия теоремы о существовании обратной функции(см. глава4)
-
D(f)=R
-
E(f)=(0;+∞);y=0горизонтальная асимптота
-
Функция строго монотонна и непрерывна (при а>1 возрастает; при 0а1 убывает)
условия теоремы выполнены.
-
Чтобы найти обратную функцию, выражаем переменную х через у:
х=
-
Чтобы график обратной функции построить в старой системе координат поменяем местами переменные: ху
Таким образом,
обратная функция f-1:
y=
Продолжим исследование логарифмической функции.
1) D(f-1)=E(f)=(0;+∞);прямая х=0вертикальная асимптота
2) E(f-1)=D(f)=R
3)Имеем корень х=1, т.к. а0=1
4) Функция строго монотонна и непрерывна (при а>1 возрастает; при 0а1 убывает)
5) Функция общего вида.
6) Экстремумов нет
График логарифмической функции симметричен графику показательной функции относительно прямой у=х.
у=
у
а>1
1
у
х
х
1
0а1
Пример 1.
С помощью преобразований графиков построить график данной функции и провести исследование .
у=
.
Решение:
Порядок работы:
(1) у=
;
(2) у=
-2;
(3) у=
-2;
(4) у=
.
Схема графика имеет вид:
-1
х
у
3
-3
-2
2
Исследование:
-
D(f)=R
-
E(f)=[0;+∞)
-
y=0
=2
x+1=4
x=3
;
y(0)=2. -
f(-x)=f(x) чётная функция.
-
min y(±3)=0; max y(0)=2.
Пример 2.
С помощью преобразований графиков построить график данной функции и провести исследование .
y=
.
Решение:
Порядок работы:
(1) у=
;
(2) y=
;
(3) y=
;
(4) y=
.
Схема графика имеет вид:
-1
x
y
3
-5
2
Исследование:
-
D(f)=(-∞;-1)∪(-1;+∞); прямая х=-1 вертикальная асимптота.
-
E(f)=[0;+∞)
-
y=0
=2
x+1=4
;
y(0)=2. -
Функция общего вида (график симметричен относительно прямой х=-1)
-
min y(-5)=0; min y(3)=0.
(Обратите внимание на различие графиков функций в 1-ом
и 2-ом примерах, несмотря на похожесть формул задания)
Пример 3
С помощью преобразований графиков построить график данной функции и провести исследование .
у=
+1.
Решение:
Порядок работы:
-
у=
;
(2) у=
+1;
(3) у=
+1;
(4)у =
+1.
Схема графика имеет вид:
2
-2
-4
х
у
1
4
Исследование:
-
D(f)=(-∞;-2)∪(2;+∞); прямые х=-2 и х=2 вертикальные асимптоты.
-
E(f)=[0;+∞).
-
y=0
x-2=2
x=4
. -
f(-x)=f(x)чётная функция.
-
min y(±4)=0.
Пример 4
С помощью преобразований графиков построить график данной функции и провести исследование .
у=
+1.
Решение:
Порядок работы:
-
у=
(2)
у=
;
(3)у=
+1;
(4) у=
+1.
Схема графика имеет вид:
х
у
0
2
4
1
Исследование:
-
D(f)=(-∞;2)∪(2;+∞); прямая х=2 вертикальная асимптота.
-
E(f)=[0;+∞)
-
у=0
х-2=2
;
у(0)=0. -
Функция общего вида (прямая х=2 ось симметрии).
-
min y(0)=0; max y(4)=0.
Пример 5(самостоятельно).
С помощью преобразований графиков построить график данной функции и провести исследование .
у=
-1.
Пример 6 (самостоятельно)
С помощью преобразований графиков построить график данной функции и провести исследование .
у=
-1.
Пример 7 (самостоятельно).
С помощью преобразований графиков построить график данной функции и провести исследование .
у=
Пример 8 (самостоятельно)
С помощью преобразований графиков построить график данной функции и провести исследование .
у=
.
Пример 9.
Дано:
f(x)=
;
D(f)=[5;7]=X;
E(f)=Y;
f:
XY.
Найти:
1)E(f);2) определить вид отображения f (построить график).
Решение:
Функция у=
строго убывает, т.к. основание а=
1.
Данная функция получена из исходной параллельным переносом, а следовательно тоже убывает
Вывод: f биекция.
Вычислим значение функции на границах области определения:
f(5)=2; f(7)=1
E(f)=[1;2].
Cхема графика:
у
2
У
Х
1
х
5
7
Пример 10.
Дано:
f(x)=
;
D(f)=[-1;3]=X;
E(f)=Y;
f:
X
Y.
Найти:
1)E(f);2) определить вид отображения f (построить график).
Решение:
Заметим, что данная функция чётная.
Область определения: 4-х>0х(-4;4) (прямые х=±4вертикальные асимптоты)
В нашем примере D(f)=[-1;3](-4;4)
Вычислим значение функции на границах интервала и в точке х=0.
f(-1)=0;
f(3)=1;
f(0)=
+1≈-0,26.
Схема графика:
-1
+1
х
у
-4
4
3
1
У
Х
На интервале [-1;0] функция убывает,
а на интервале [0;3]возрастаетнет строгой монотонности.
Т.к. по условию E(f)=Y, то данное отображение является сюръекцией (отображение Х на У)
E(f)=[
Пример 11(самостоятельно).
Дано:
f(x)=
-4;
D(f)=[-4;22]=X;
E(f)=Y;
f:
XY.
Найти:
1)E(f);2) определить вид отображения f (построить график).
Ответ:E(f)=[-4;-1]; биекция.
Пример 12(самостоятельно).
Дано:
f(x)=
;
D(f)=[-5;1];
E(f)=Y;
f:
XY.
Найти:
1)E(f);2) определить вид отображения f (построить график).
Ответ:
E(f)=[
.
Пример 13.
Решить уравнение:
.
Решение:
Пусть t=
;
t>0.
Покажем графическое решение данного уравнения.
Строим график
функции:
;
t>0
«корыто»
y
y=12
у(4)=у(16)=12.
t
4
16
4≤t≤16
4 ≤
2
4≤x+1≤163≤x≤15.
Ответ:х[3;15]
Пример 14.
Решить уравнение:
Решение:
Пусть
;(x>-1)t-2-t-1=1.
Покажем графическое решение данного уравнения.
(«ступенька»)
у(1)=1; у(2)=-1.
у
t
2
1
y=1
t≤1
≤1x+1≤2x≤1
.
Ответ: х(-1;1]
Пример 15(самостоятельно).
Решить уравнение:
Ответ: x[3;6].
Пример 16(cамостоятельно).
Решить уравнение:
=-1.
Ответ: х(-∞;1,5]
Пример 17.
Решить неравенство.
.
Решение:
Рассмотрим две
функции: (1) f(x)=
;
(2)g(x)=
f
-
f(x)=
min f(3)=1f(x)1
3
1
x
t(x)=6x-x2-7t(x)=2-(x-3)2;t(x)>0;max
t(3)=2
0t(x)≤2-∞
g(x)≤1.
По
условию:f(x)≤g(x)
при этом
f(x)=g(x)=1x=3
Ответ:{3}.
Пример 18.
Решить неравенство.
Решение:
Рассмотрим две функции:
-
f(x)=
;(2)
g(x)=
.
Решаем неравенство: f(x)g(x).
(1)f(x)=
;
t(x)=
;
max
t(0)=40t(x)≤4-∞f(x)≤
f(x)≤2
t
x
4
-
g(x)=
;
min g(0)=2g(x)2
2
x
g
f(x)=g(x)=2x=0
Ответ:{0}.
Пример 19(самостоятельно).
Решить неравенство.
ю
Ответ:{4}.
Пример 20(самостоятельно).
Решить неравенство.
.
Ответ:{-1}.
Пример 21.
Решить уравнение.
Решение:
Имеем верное
равенство при всех допустимых значениях
аргумента:
3
2
5
-5
Ответ: Х(-∞;-5)∪(5;+∞)
Пример 22(cамостоятельно).
Решить уравнение:
.
Ответ: х(3;4).