- •Оглавление
- •§1 Основные понятия……………………………………………………………………………………………………………………………….2526
- •§2 Решение примеров…………………………………………………………………………………………………………………………….2634
- •§11 Решение примеров………………………………………………………………………………………………………189213
- •Глава 1. Числовые множества.
- •§1 Основные понятия.
- •2; ()2; ()3;…;;…, То с ростом n значения последовательности будут возрастать, но никогда не будут больше числа 3. Такая последовательность имеет предел, который равен иррациональному числу е.
- •§2 Решение задач.
- •Глава 2. Модуль вещественного числа. Решение уравнений и неравенств со знаком модуля.
- •§1 Простейшие уравнения со знаком модуля.
- •Пример 3 Решить уравнения:
- •Решения:
- •§2 Простейшие неравенства со знаком модуля.
- •Пример 1 Решить следующие неравенства:
- •Глава 3. Элементы теории множеств.
- •§1Основные понятия.
- •§2 Решение примеров.
- •Глава 4. Отображение множеств. Виды отображений.
- •§1 Основные понятия и определения.
- •1.Отображение множества а в множество в (общий случай).
- •2.Сюръекция ( отображение множества а на множество в)
- •Решение:
- •§2 Решение примеров.
- •Глава 5.Числовые функции и их свойства.
- •§1 Определение числовой функции. Основные свойства.
- •§2 «Полезные» функции
- •Пример 1 Построить график и провести исследование по предложенной выше схеме.
- •Пример 2
- •§3.Построение графиков и исследование функций со знаком модуля.
- •Глава 6. Построение линий и областей на плоскости, заданных уравнениями и неравенствами.
- •§1.Прямая на плоскости.
- •Уравнение прямой с угловым коэффициентом и начальной ординатой:
- •Уравнение прямой с угловым коэффициентом и проходящей через точку (х0;у0):
- •Уравнение прямой, проходящей через две точки м1(х1;у1) и м2(х2;у2).
- •§2.Уравнение окружности.
- •§3.Построение линий и областей на координатной плоскости.
- •§4. Множества на плоскости.
- •Задача 2.
- •Решение:
- •Задача 3 (самостоятельно)
- •Глава 7. Элементарные функции.
- •§1 Линейная функция.
- •§2 Обратная пропорциональная зависимость.
- •Чётностьнечётность.
- •Промежутки монотонности
- •6.Экстремумов нет, т.К. Функция строго монотонна.
- •1.Новая ось (оу) проходит через точку (-1;0)
- •2.Новая ось (ох) проходит через точку (0;2).
- •Область определения функции:
- •Чётностьнечётность.
- •Чётностьнечётность.
- •§3 Дробнолинейная функция
- •5.Экстремумов нет.
- •4. F(X)≠функция общего вида
- •6.Экстремумов нет.
- •Область определения функции:
- •3): У≠0 корней нет.
- •§4 Степенная функция.
- •На интервале (-∞;0) функция убывает
- •На интервале (-∞;0) функция убывает,
- •§5. Квадратичная функция.
- •Пример 1.
- •Решение:
- •Пример 3.
- •Решение:
- •Найдите значение параметра а. Постройте график функции и найдите минимальное(максимальное) значение функции:
- •Пример 6 (самостоятельно).
- •Пример 7.
- •Решение:
- •§6.Показательная функция.
- •Корней нет, т.К. У≠0.
- •Функция общего вида.
- •Экстремумов нет.
- •Нет корней, т.К. У≠0.
- •Функция чётная .
- •Определить вид отображения (построить график).
- •Определить вид отображения (построить график).
- •Определить вид отображения (построить график).
- •Определить вид отображения (построить график).
- •§7. Логарифмическая функция.
- •Полезные формулы.
- •Докажем это утверждение основываясь на теореме об обратной функции.
- •§8.Сложная функция.
- •1)Если обе функции f и g возрастают,
- •2)Если обе функции f и g убывают,
- •3)Если одна из функций возрастает, а другая убывает,
- •4) Общего вида.
- •Общего вида.
- •4)Чётная функция.
- •§9.Обратные функции.
- •4.Функция непрерывная и строго возрастает
- •5.Находим формулу обратной функции, выражая переменную х через у.
- •Глава 8. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции и их свойства.
- •§1.Периодические функции и их свойства.
- •§2.Определение тригонометрических функций.
- •Экстремумов нет.
- •Экстремумов нет.
- •3.Убывает и непрерывна. -1
- •2.Множество значений функции: (-.
- •3.Убывает и непрерывна.
- •2.Множество значений функции:(0;π);
- •4.Функция общего вида.
- •§11.Решение примеров.
- •Пример15 (самостоятельно). Найти периоды данных функций и вычислить значения функций в указанных точках.
- •Пример16. Найти периоды данных функций.
- •Решение:
Глава 8. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции и их свойства.
§1.Периодические функции и их свойства.
Определение:
Функция у=f(x), заданная на множестве X, называется периодической, если существует такое число L ( L0), что выполняются два условия:
1) ∀xX, x±LX;
2)∀xX; f(x±L)=f(x).
Число L называется периодом данной функции, а сама функция периодической.
Основные свойства периодических функций
1. Если L-период функции y=f(x), то функция имеет бесконечное множество периодов вида {kL}, k Z k0
Другими словами, если L-период функции y=f(x), то числа: ±2L;±3L;…тоже периоды данной функции.
Действительно, пусть L-период функции y=f(x).
Покажем, что число 2L - тоже период этой функции.
∀xX, x±LXx±2LX
f(x+2L)=f((x+L)+L)=f(x+L)=f(x)
f(x+2L)=f(x)
Определение:
Наименьшее положительное число из множества всех периодов называется основным периодом, который мы будем обозначать Т.
Напомним основные периоды для тригонометрических функций:
-
y=sin x, T=2π (sin(x±2π)=sin x)
-
y=cosx, T=2π (cos(x2π)=cos x)
-
y=tgx, T=π (tg(xπ)=tgx)
-
y=ctgx, T=π (ctg(xπ)=ctgx)
При построении графика периодической функции можно сначала построить график на интервале длины T, а затем периодически продолжить график на всю числовую ось.
Замечание: Если y=f(x) – чётная, то строим график на интервале [0;]
Затем чётным образом на интервале [-; 0].
Аналогично для нечётной функции, только на интервале [-; 0] – нечётное продолжение.
3. Если функция y=f(x) имеет период Т, то функция y=Аf(kx+b)+ B имеет период
(А, В, k, b) – постоянные)
4. Если функция f1(x) имеет период Т1, функция f2(x) имеет период Т2, то функция y=Аf1(x)+ B f2(x) тоже периодическая с периодом T.
Для нахождения T используем соотношение: kТ1=nТ2 (k,n N)
== - несократимая дробь
Тогда, Т= Т1 (или Т=Т2 )
§2.Определение тригонометрических функций.
Рассмотрим окружность, заданную уравнением:
х2+у2=1; R=1.
(В дальнейшем будем называть эту окружность тригонометрической).
Пусть радиус-вектор при повороте на угол 𝛂 против часовой стрелки перейдёт в радиус-вектор
Пусть координаты точки М(х.; у).
у
М(х;у)
А
х
о
α
Определение: R=1
Ось (оу) называют осью синусов.
Определение:
R=1
Ось (ох) называют осью косинусов.
Таким образом, точка М на тригонометрической окружности имеет координаты М(
Замечание:
Аргументом синуса и косинуса является угол поворота 𝛂.
Если этот угол выражается в радианах, то значениями 𝛂 являются действительные числа.
Напомним, что радиан ( от лат radius) можно определить как центральный угол, который опирается на дугу, равную радиусу.
R
1рад.
10=рад.≈0,017 рад.
1 рад.=≈570
Определение:
tg 𝛂=
tg 𝛂=
Рассмотрим прямую х=1.
B
В точка продолжения
tgα
A
M
x=1
с прямой х=1.
α
Тогда =tg𝛂, т.к. ОА=1
o
tgα=AB.
Прямая х=1 называется осью тангенсов.
Определение:
ctg α=
ctgα=
Рассмотрим прямую у=1.
ctg α
C
B
y=1
x
0
M
α
Вточка пересечения с прямой у=1.
Тогда =ctg𝛂, т.к. ОС=1 ctg 𝛂=CB.
Прямая у=1 называется осью котангенсов.
§3. Функция у=.
Исследование:
-
D(f)=(-∞;+∞).
-
E(f)=[-1;1].
-
x=πk; kZ.
-
(нечётная функция); график симметричен относительно начала координат.
-
Основной период Т=2π; .
Т.к. функция нечётная и периодическая, то достаточно исследовать функцию на интервале [0;π].
6.Если х возрастает от 0 доπ/2, то функция возрастает от 0 до 1.
Если х возрастает от π/2 до π, то функция убывает от 1до 0.
7.min y=-1; x=-π/2 +2πk; kZ;
max y=1; x=π/2 +2πk; kZ.
График функции называется синусоидой.
у
1
π
-π
х
-1
Т=2π
§4. Функция у=.
-
D(f)=(-∞;+∞).
-
E(f)=[-1;1].
-
x=π/2+πk; kZ.
-
(чётная функция); график симметричен относительно оси ординат.
-
Основной период Т=2π;.
Т.к. функция чётная и периодическая, то достаточно исследовать функцию на интервале [0;π].
6.Если х возрастает от 0 до π, то функция убывает от 1 до -1.
7.min y=-1; x=-π+2πk; kZ;
max y=1; x=2πk; kZ.
График функции называется косинусоидой.
1
у
-π
π
-1
Т=2π
х
§5.Функция y=tg x.
Исследование:
y=tg x у=.
-
D(f): x≠π/2 +πk, kZ.
Прямые х=π/2 +πк, кZвертикальные асимптоты.
-
E(f)=(-∞;+∞).
-
tgx=0x=𝛑k; kZ.
-
tg(-x)=-tgxнечётная функция.
-
Периодическая, основной период Т=𝛑.
tg(x±𝛑)=tgx.