Глава 4. Отображение множеств. Виды отображений.

§1 Основные понятия и определения.

Если даны два множества А и В, то можно различными способами установить соответствие между этими множествами.

Но только, если каждому элементу множества А по некоторому правилу f ставится в соответствие определённый элемент множества В, то говорят, что задано отображение множества А в множество В.

f

Обозначения: f: A B; (A B) (А, В. f)

А область определения отображения f.

Если элемент b (bB)получен из элемента а (аА), то b_образ элемента а.

В свою очередь. а=f^-1(b) прообраз элемента b.

Множество всех образов : f(A)={bB b=f(a), aA}

Различают следующие виды отображений:

1.Сюръекция.

Если f(A)=B, т.е.каждый элемент из множества В является образом некоторого элемента а из множества А, то отображение называют сюръективным или сюръекцией или говорят: отображение множества А на множество В.

2.Инъекция.

Если из условия а₁≠а₂  f(a₁)≠f(a₂), т.е. разным образам соответствуют разные прообразы, то отображение называют инъективным или инъекцией (предполагается, что не обязательно выполнение условия f(A)=B).

3.Биекция

Если выполнены два условия:

, то говорят, что отображение между множествами А и В является биективным или биекцией или взаимно однозначным соответствием.

f

A  B

Различие между видами отображений показаны на следующих рисунках.

1.Отображение множества а в множество в (общий случай).

А

В

f

2.Сюръекция ( отображение множества а на множество в)

А

В

f

3.Инъекция.

А

В

f

4.Биекция (взаимно однозначное соответствие)

А

В

f

Заметим, что если множества А и В конечные, то число элементов множества А равно числу элементов множества В.

Тождественное отображение 

из множества А в множество А означает: ∀аА (а)=а

Произведение (композиция) отображений.

f

g

Пусть f: A B; g: BC.

А

В

С

а

b

c

Произведением (композицией) отображений f и g называется отображение, обозначаемое g*f: AC, которое задано на множестве А, и при этом справедлива формула: g*f(a)=g(f(a))=g(b)=c

[Заметим. что g*f≠f*g]

Обратное отображение.

Обозначим f: AB; f^-1: BA.

f

a

b

А

В

f^-1

f^-1 обратное отображение для f , если:

( тождественное отображение), т.е.

f*f^-1(b)=f(f^-1(b))=f(a)=b.

f^-1*f(a)=f^-1(f(a))=f^-1(b)=a.

Необходимое и достаточное условие существования обратного отображения.

Для того, чтобы отображение f: A B имело обратное f^-1: BA,

необходимо и достаточно, чтобы отображение f было биективным.

Декартово произведение множеств А и В.

Декартовым произведением множеств А и В называется множество, обозначаемое А×В, состоящее из упорядоченных пар а и b.

A×B={(a;b) aA;bB}

Если ХR; YR,то (X;Y;f) отображение

XY называют числовой функцией.

X=D(f)область определения функции

E(f)=f(X)Yмножество значений функции

Графиком функции называется множество:

γ={(x;y) xX;y=f(x)Y} X×Y

на координатной плоскости это множество точек с координатами (x;y)

Обратите внимание, что не каждая линия на плоскости является графиком функции.

Рассмотрим следующие примеры.

y

x

Это графики некоторых функций, т.к. разным значениям аргумента х соответствуют определённые значения у.

у

х

х

у

Окружность не является графиком функции, но её можно задать уравнением:

х²+у²=r²

(в общем случае

(х-х₀)²+(у-у₀)²=r²

y

Это парабола, но в данном случае это не график функции, т.к. разным значениям аргумента х соответствуют сразу два значения у.

Уравнение такой параболы имеет вид:

у²=2рх, где параметр «р» положителен.

x

Заметим, что если f сюръекция, то множество значений f(X)=Y.

Если fинъекция, то функция строго монотонна, т.е. или возрастает или убывает на множестве Х.

Если fбиекция, то f(X)=Y и функция строго монотонна и при этом существует обратная функция.

Сформулируем основную теорему о существовании обратной функции.

Если функция f:

1. строго монотонна на множестве D(f)

2. непрерывна

3. имеет множество значений E(f),то

существует обратная функция f^-1,такая что:

1) D(f^-1)=E(f)

2) E(f^-1)=D(f)

3) непрерывная

4) монотонна в том же смысле, что и данная функция .

Если строить графики в одной системе координат

y=f(x) и у=f^-1(x), то эти графики расположены симметрично относительно прямой у=х.

Рассмотрим пример:

Дано: у=2х+5;

Найти обратную функцию.