Пример15 (самостоятельно). Найти периоды данных функций и вычислить значения функций в указанных точках.

1. y= -3sin , х₁= х₂=-

2. y= cos , х₁= х₂=-

3. y= 2 tg; х₁= х₂= -

4. y=ctg; х₁= х₂= -

5. y=sin , х₁= х₂= -

6. y= 2 cos+7; х₁= х₂= -

7. y=2sin² 3x ; х₁= х₂=-

8. y= - cos² x ; х₁= х₂= -

Ответы: 1) Т=2; =0; = -

2) Т=2; =; = 6) Т=;=8 = 5

3) Т=; =0; = -2 7) Т=; =2 =

4) Т=; =; = 0 8) Т=; =0; = -

5) Т=6; =; = -

Пример16. Найти периоды данных функций.

1. y= 2 sin +3 cos

2. y= sin -2 cos

3. y= 2tg+ ctg

4. y=3 sin+tg

Решение:

1. y= 2 sin +3 cos

f(x)= 2 sin T=

f(x)= 3 cos T=

Найдём основной период Т функции y= f(x)+ f(x), используя соотношение:

kТ₁₌nТ₂ (k,n N)

= == k3, n2 T= kT=3=2 (n=2)

Ответ: 2π.

2. y= sin -2 cos

f(x)= sin T=2𝛑 :

f(x)= -2 cos T=2:

y= f(x)+ f(x)

Основной период Т будем находить из соотношения:

kТ₁₌ nТ₂ (k,n N)

== = k8, n15

T= k (T=n

Ответ: Т=

3. y= 2tg+ ctg

f(x)= 2tg T=7𝛑

f(x)= ctg T=:

y= f(x)+ f(x)

Основной период Т будем находить из соотношения:

k T=n T (k,n N)

==₌  k3, n14

T= k (k=

Ответ: Т=

4. y= 3 sin+tg

y=3 sin-tg

f(x)= 3 sin T=2𝛑:

f(x)= - tg T=:

y= f(x)+ f(x)

Основной период Т будем находить из соотношения:

k T=n T ==k1; n8

T=k (n

Ответ: Т=

Пример17 (самостоятельно).

Найти периоды данных функций:

1. y= 3 cos + sin (4-5x)

2. y= 2 sin -5cos

3. y= - tg+3 cos

4. y= ctg-2 sin

Ответы: 1) Т=2; 2) Т=28; 3) Т=9; 4) Т=15;

Пример 18.

Найти основной период данных функций:

1. y=;

2. y=4tg(.

Решение:

y=



+5=

.

T₁==

(x)=  T₂==

(x).

===k₁=60; n₁=7

T=T₁*k₁=*60=20π (T=T₂*n₁=*7=20π).

Ответ: T=20π.

2)y=4tg(=

=4tg(+3(1-)

f₁(x)= tg( T₁==

f₂(x)=  T₂==

y=4f₁(x)-3f₂(x)+3.

= k₁₌=17; n₁=40

=17* =10π (T=n₁*T₂=40* =10π).

Ответ: T=10π.

Пример 19 (самостоятельно).

Найти основной период данных функций:

1. y=;

2. y=5-4tg(.

Ответ: 1) T=10π; 2) T=20π.

Замечание:

Функция y=acosx+bsinx – называется гармоникой.

Заметим, что Т=

Преобразуем выражение данной функции:

y=

Обозначим:

=sin =cos

=arctg

Тогда получим:

y= sin (x+α)

A= - амплитуда гармоники

Т= - период -угловая частота

Пример20.

Найти множество значений данных функций:

1)у=√3;

2)у=.

Решение:

1)у=√3;

√32( =2

у=2-1

-2≤2≤2 -3≤у≤1.

Ответ: E(f)=[-3;1].

2)у=.

Обозначим t(x)=t(x)=2

-2≤t(x)≤2 2^-2≤2^t(x)≤2² .

Ответ: E(f)=[ .

Основные тригонометрические формулы.

Основные тождества

1+(tg𝛂)2=

1+(ctg𝛂)2=

tg𝛂*ctg𝛂=1

Формулы суммы (разности) углов

tg(𝛂+𝛃)=

tg(𝛂-𝛃)=

ctg(𝛂+𝛃)=

ctg(𝛂-𝛃)=

Формулы понижения степени

=(1-

1-2

=

1+

Формулы двойного угла

=1-2= =2-1

tg2𝛂=

ctg2𝛂=

Универсальная подстановка

tg𝛂=

Формулы преобразования суммы (разности) в произведение

tg𝛂+tg𝛃=

tg𝛂-tg𝛃=

ctg𝛂+ctg𝛃=

ctg𝛂-ctg𝛃=

Формулы преобразования произведения в сумму

Формулы тройного угла