6. На интервале (-π/2 ;π/2) функция возрастает от -∞ до +∞.

7. Экстремумов нет.

График функции называется тангенсоидой.

π/2

-π/2

х

у

-π

π

Т=π

§6. Функция у=ctg x.

Исследование:

y=ctg x y= .

1. D(f):  x≠𝛑k; kZ; прямые х=𝛑к, кZ вертикальные асимптоты.

2. E(f)=(-∞;+∞).

3. ctg x=0 x=π/2 +πk; kZ.

4. ctg(-x)=-ctg xнечётная функция.

5. Периодическая, основной период Т=𝛑.

сtg(x±𝛑)=сtgx.

6. На интервале (0;π) функция убывает от +∞ до -∞.

7. Экстремумов нет.

График функции называется котангенсоидой.

у

х

0

π/2

π

-π/2

-π

Т=π

§7. Функция y=arcsin x.

Определение:

arcsin a=𝛂 (угол)

Рассмотрим функцию у= на интервале [-π/2; π/2].

Все условия существования обратной функции выполнены.

Действительно, если f(x)=, то :

1.D(f)=[-π/2;π/2].

2.E(f)=[-1;1].

y

3.Возрастает и непрерывна.

4.Формула обратной функции:

f^-1: x=.

5.xy

y=

y=arcsin x

-π/2

π/2

-1

1

x

Исследование:

1.Область определения:[-1;1].

2.Множество значений: [-π/2;π/2].

3.arcsin x=0x= x=0

4.arcsin(-x)=-arcsin x нечётная функция.

5.Если х возрастает от -1 до +1, то функция возрастает от – до .

6.Экстремумов нет.

у_(наим.)(-1)=-; у_(наиб.)(1)= .

=x

-1

1

y=arcsin x

-

§8. Функция у=arсcos x.

Определение:

arсcos a=𝛂 (угол) 

Рассмотрим функцию у= на интервале [0;π].

Все условия существования обратной функции выполнены.

Если f(x)= (y=,то:

1

y=

1.D(f)=[0;π].

π

2.E(f)=[-1;1].

3.Убывает и непрерывна. -1

4.Формула обратной функции:

f^-1: x=arсcos y

5.xy

y=arсcos x.

Исследование:

1.Область определения функции: [-1;1].

2.Множество значений функции:[0;π].

3.arccos x=0 x=

4.Функция общего вида.

Справедлива формула: arсcos(-x)=𝛑- arccos x

5.Если х возрастает от -1 до 1, то функция убывает от π до 0.

6.Экстремумов нет

у_(наим.)(1)=0; у_(наиб.)(-1)=π.

π

y

y=arccosx

-1

1

x

§9. Функция у=arctg x.

Определение:

arctg a=𝛂 (угол)

Рассмотрим функцию у=tg x на интервале (-.

Все условия существования обратной функции выполнены.

Если f(x)=tgx (y=tg x), то:

1.D(f)=(-.

2.E(f)=(-∞;+∞);

прямые х=-π/2 и х=π/2 вертикальные асимптоты.

3.Возрастает и непрерывна.

х

у

х=

y=tgx

4.Формула обратной функции:

f^-1: x=arctgy.

5.xy

y=arctg x.

Исследование:

1.Область определения: (-∞;+∞).

2.Множество значений функции: (-.

Прямые у=-π/2 и у=π/2горизонтальные асимптоты.

3.arctgx=0 x=tg0x=0.

4.arctg(-x)=-arctg xнечётная функция.

5.С возрастанием х от -∞ до+∞ функция возрастает от –π/2 до +π/2.

6.Экстремумов нет.

у

у=arctgx

х

у=-π/2

у=π/2

tg(arctgx)=x

§10.Функция у=arcctg x.

Определение:

arcctga=𝛂 (угол)

Все условия существования обратной функции выполнены.

Если f(x)=ctg x (y=ctg x), то :

1.D(f)=(0;π), прямые х=0 и х=π вертикальные асимптоты.

2.E(f)=(-∞;+∞).