4.2.3.2. Модификации метода Ньютона

Основным недостатком метода Ньютона является необходимость вычисления значения производной f(X) на каждой итерации. Рассмотрим некоторые модификации, лишенные этого недостатка.

Заметим, что рассматриваемые ниже итерационные методы решения нелинейного уравнения на каждой итерации используют процедуру его линеаризации, то есть исходное нелинейной уравнение заменяется приближенно более простым линейным уравнением.

Упрощенный метод Ньютона

Если производная функции f(X) непрерывна, то ее значение вблизи простого корня почти постоянно. Поэтому можно попытаться вычислить f(X) лишь однажды в точке , а затем заменить f() постоянной f(). В результате получим упрощенную формулу метода Ньютона:

n0. (4.15)

Упрощения вычислений по сравнению с методом Ньютона достигается ценой резкого падения скорости сходимости. Сходимость этого метода является уже не квадратичной, а линейной. Этот метод можно рассматривать как метод простой итерации с итерационной функцией:

(4.16)

Так как

(4.17)

то для знаменателя q соответствующей геометрической прогрессии имеем:

(4.18)

Следовательно, скорость сходимости тем выше, чем ближе начальное приближение к решению .

Метод ложного положения

В основе этой и следующей модификаций метода Ньютона лежит приближенное равенство:

(4.19)

Оно верно при условии известности Zⁿ и Xⁿ и следует из определения производной:

(4.20)

Пусть C  фиксированная точка, расположенная в окрестности простого корняX. Заменим в расчетной формуле классического метода Ньютона

производную правой частью формулы (4.19), полагая, что Zⁿ=C.

В результате приходим к формуле ложного положения:

(4.21)

Метод обладает линейной сходимостью. Его можно рассматривать как метод простой итерации с итерационной функцией:

(4.22)

Так как скорость сходимости определяется вблизи корня величиной

(4.22)

то она тем выше, чем ближе окажется выбранная точка C к корню уравнения.

Метод секущих

Замена в формуле (4.12) для метода Ньютона производной f(X) приближением:

приводит к расчетной формуле для метода секущих:

(4.23)

4.2.4. Обусловленность задачи вычисления корня

Будем предполагать, что в достаточно малой окрестности корня выполняется неравенство:

(4.24)

где – предельное значение абсолютной погрешности вычисления функции. Если функция f непрерывна, то найдется такая малая окрестность корня , имеющая радиус , в котором выполняется неравенство (4.24).

Для знак вычисленного значения f^*(Х) в общем случае не обязан совпадать со знаком функции f(Х) и, следовательно, становится невозможно определить, какое именно значение Х из интервала обращает функцию в нуль.

Этот интервал называется интервалом неопределенности корня .

Найдем оценку величины ε. Пусть простой корень. Для близких к корню значений аргумента Х справедливо:

(4.25)

Тогда неравенство (4.24) примет вид:

(4.26)

Отсюда

. (4.27)

Следовательно:

(4.28)

где  абсолютное число обусловленности задачи вычисления коней нелинейного алгебраического уравнения..