3.3. Примеры решения типовых задач

Задача 3.1.

Определить абсолютное число обусловленности для следующей формулы численного дифференцирования:

(3.14)

Значения дифференцируемой функции y(x) заданы с предельной абсолютной погрешностью ε=10^-3 и h=0,05.

Решение задачи 3.1.

В соответствии с правилом учета абсолютных погрешностей при выполнении алгебраического суммирования можно утверждать, что абсолютная погрешность при вычислении конечной разности первого порядка Δy₀ не превышает 2ε.

Так как конечная разность второго порядка в узле х₀ вычисляется как

Δ²y₀=Δy₁Δy₀,

то её абсолютная погрешность не превышает величины 2(2ε)=4ε.

Аналогично, абсолютная погрешность при вычислении конечной разности третьего порядка не превышает величины 2(2 (2ε))=8ε.

Таким образом, погрешность вычисления первой производной по предложенной формуле удовлетворяет неравенству:

то есть

Коэффициент, связывающий погрешность результата вычисления первой производной и погрешность представления исходных данных ε является абсолютным числом обусловленности (_Δ) решения данной задачи численного дифференцирования. Его значение равно 280>>1, что свидетельствует о плохой обусловленности этой задачи.

Задача 3.2.

В условиях задачи 3.1. определить, каким должен быть оптимальный шаг дифференцирования, и является ли заданный шаг изменения аргумента (h=0,05) таблицы значений дифференцируемой функции близким к оптимальному.

Решение задачи 3.2.

Оценка максимальной погрешности интерполяции исходной функции на всем отрезке дифференцирования [a, b] для четырёх узлов интерполяции (n=3) удовлетворяет условию:

,

где

Полная погрешность для формулы (3.14) представляет собой сумму вычислительной и погрешности интерполяции на интервале дифференцирования и не превосходит величины:

.

Минимизация по h функции ε₁(h) приводит к следующей формуле для вычисления оптимального значения шага дифференцирования:

Вычислив максимальное значение производной четвёртого порядка (используя простейшие формулы численного дифференцирования) для заданного представления исходной функции, можно легко получить значение оптимального шага численного дифференцирования для заданной постановки задачи.

3.4. Порядок выполнения лабораторной работы

1. Изучить раздел 3.2 настоящих методических указаний.

2. Получить решение задачи численного дифференцирования.

2.1. В соответствии с вариантом индивидуального задания (Приложение В3, таблица B3.1) написать и отладить программы численного дифференцирования таблично заданной функции.

2.2. Для заданных формул численного дифференцирования вычислить коэффициенты обусловленности, сравнить полученные значения и сделать соответствующие рекомендации по применению соответствующих методов.

2.3. Определить оптимальное значение шага численного дифференцирования для достижения заданного значения точности решения. Сравнить полученное значение оптимального шага с заданным шагом аргумента в табличном представлении функции и сделать соответствующие рекомендации по изменению процедуры проведении последующих измерений значений функции.

3. Получить решение задачи численного интегрирования.

3.1. В соответствии с вариантом индивидуального задания (Приложение В3, таблица B3.2) написать и отладить программы численного интегрирования таблично заданной функции.

3.2. Оценить точность полученного решения.

4. Составить отчет о выполнении лабораторной работы.