3.5. Содержание отчета о выполнении работы

1. Цель работы.

2. Постановка задачи.

3. Краткое описание рассматриваемых методов численного дифференцирования и интегрирования функций.

4. Анализ обусловленности задач численного дифференцирования и интегрирования.

5. Определение оптимального шага для решения задач численного дифференцирования предложенными методами

6. Результаты вычислительного эксперимента.

7. Анализ полученных экспериментальных результатов и выводы об их соответствии теоретически ожидаемым.

8. Приложения.

3.6. Контрольные вопросы

1. Сформулируйте постановку задачи численного дифференцирования.

2. Какие простейшие формулы численного дифференцирования Вы знаете?

3. Дайте определение понятию «хорошо обусловленная задача». Является ли задача численного дифференцирования хорошо обусловленной?

4. Как вычислить абсолютное число обусловленности для заданного метода численного дифференцирования?

5. Как выбрать оптимальный шаг численного дифференцирования?

6. Сформулируйте постановку задачи численного интегрирования.

7. Является ли задача численного интегрирования хорошо обусловленной?

8. Какие простейшие формулы численного интегрирования Вы знаете?

9. Какая основная идея положена в основу метода Гаусса для численного интегрирования?

10. Как оценить точность простейших методов численного интегрирования?

4. Лабораторная работа №4 «Численное решение нелинейных уравнений»

4.1. Цель работы

Получить навыки применения методов решения заданных уравнений, используя один из методов численного решения алгебраических и трансцендентных уравнений.

4.2. Краткое теоретическое введение

В практических вычислениях часто приходится решать уравнения вида:

f(Х)=0, (4.1)

где функция f(x) определена и непрерывна на некотором конечном или бесконечном интервале a<Х<b.

Если функция f(Х) является многочленом, то уравнение (4.1) называют алгебраическим, если же в функцию f(Х) входят элементарные (тригонометрические, логарифмические, показательные и т.п.) функции, то такое уравнение называют трансцендентными.

Найти корни уравнения вида (4.1) точно удается не всегда. Однако разработано множество методов численного решения таких уравнений, которые позволяют отыскать приближенные значения корней этого уравнения.

Задача нахождения корней уравнения может быть разбита на две подзадачи:

1. Отделение корней, т.е. отыскание достаточно малых областей, в каждой из которых заключен один и только один корень уравнения.

2. Вычисление корней с заданной точностью.

При выделении областей, в которых находятся действительные корни уравнения (4.1), можно воспользоваться тем, что если на концах некоторого отрезка непрерывная функция f(Х) принимает значения разных знаков, то на этом отрезке уравнение f(Х)=0 имеет хотя бы один корень.

Для решения второй подзадачи существуют многочисленные методы, такие как метод итераций, метод Ньютона, метод половинного деления.

Наиболее распространёнными методами решения нелинейных алгебраических уравнений являются следующие:

4.2.1. Метод половинного деления (бисекции)

Постановка задачи: дано уравнение f(X)=0,

где f(X)  функция, непрерывная на отрезке [, ] и f()f()<0.

Требуется найти корень X с точностью >0.

Метод половинного деления, который хотя и требует значительного объема вычисления работы, но всегда приводит к искомому результату.

Основная идея метода состоит в следующем:

для нахождения корня, принадлежащего отрезку [, ], делим отрезок пополам, то есть выбираем начальное приближение .

Если f(X⁽⁰⁾)=0, то X⁽⁰⁾ является корнем уравнения.

Если f(X⁽⁰⁾)0, то выбирается тот из отрезков, [⁽⁰⁾, X⁽⁰⁾] или [X⁽⁰⁾, ⁽⁰⁾], на концах которого функция f(X) имеет противоположные знаки.

Новый отрезок будем обозначать [⁽¹⁾, ⁽¹⁾]. Неограниченное продолжение итерационного процесса дает последовательность отрезков, [⁽¹⁾, ⁽¹⁾],

[⁽²⁾, ⁽²⁾], ..., [⁽ⁿ⁾, ⁽ⁿ⁾], содержащих искомый корень.

Середина n-го отрезка

(4.2)

дает приближение к корню, имеющее оценку погрешности:

. (4.3)

Из этой оценки видно, что метод бисекции сходится со скоростью геометрической прогрессии, знаменатель которой .

По сравнению с другими методами он сходится довольно медленно, но очень прост и нагляден. Для его применения достаточно выполнения неравенства f()f()<0 и условия непрерывности функция f(X).

Критерием окончания итерационного процесса является выполнение неравенства:

(4.4)

При его выполнении в силу оценки погрешности метода можно принять X(n) за приближение к корню X с точностью .