- •Севастополь
- •Содержание
- •Введение
- •1. Лабораторная работа №1 «Исследование погрешностей результата вычислений при решении задач вычислительной математики»
- •1.1. Цель работы
- •1.2. Основные понятия элементарной теории погрешностей
- •1.3. Образцы выполнения заданий
- •1.4. Порядок выполнения работы
- •1.5. Контрольные вопросы
- •2. Лабораторная работа №2 «Приближение функций»
- •2.1. Цель работы
- •2.2. Основные теоретические положения и расчетные формулы
- •2.3. Порядок выполнения работы
- •2.4. Содержание отчета о выполнении работы
- •2.5. Контрольные вопросы
- •3. Лабораторная работа №3 «Численное дифференцирование и интегрирование»
- •3.1. Цель работы
- •3.2. Основные теоретические положения и расчетные формулы
- •3.3. Примеры решения типовых задач
- •3.4. Порядок выполнения лабораторной работы
- •3.5. Содержание отчета о выполнении работы
- •3.6. Контрольные вопросы
- •4. Лабораторная работа №4 «Численное решение нелинейных уравнений»
- •4.1. Цель работы
- •4.2. Краткое теоретическое введение
- •4.2.1. Метод половинного деления (бисекции)
- •4.2.2. Метод последовательных приближений (метод простой итерации)
- •4.2.3. Метод Ньютона – Рафсона
- •4.2.3.1. Описание классического метода Ньютона - Рафсона
- •4.2.3.2. Модификации метода Ньютона
- •4.2.4. Обусловленность задачи вычисления корня
- •4.3. Порядок выполнения работы
- •4.4. Содержание отчета о выполнении работы
- •4.5. Контрольные вопросы
- •5. Лабораторная работа №5 «Численное решение дифференциальных уравнений»
- •5.1. Цель работы
- •5.2. Краткие теоретические сведения
- •1) Метод степенных рядов.
- •5.3. Пример решения типовой задачи
- •5.4. Порядок выполнения работы
- •5.5. Контрольные вопросы
- •Приложения
- •Приложение в Варианты индивидуальных заданий для выполнения лабораторных работ
- •В2. Варианты индивидуальных заданий для выполнения лабораторной работы №2 «Приближение функций»
- •В3. Варианты индивидуальных заданий для выполнения лабораторной работы №3 «Численное дифференцирование и интегрирование »
- •В4. Варианты индивидуальных заданий для выполнения лабораторной работы №4 «Численное решение нелинейных уравнений»
- •В5. Варианты индивидуальных заданий для выполнения лабораторной работы №4 «Численное решение дифференциальных уравнений»
4.3. Порядок выполнения работы
1. Изучить раздел 4.2 настоящих методических указаний.
2. Проверить условие сходимости и записать расчетные формулы для нахождения корня уравнения заданными методами. Варианты индивидуальных заданий представлены в таблице вариантов (Приложение В4, таблица B4.1).
3. Выбрать и обосновать выбор начального приближения из указанного отрезка поиска корня.
4. Написать и отладить программы решения нелинейного уравнения с точностью . В программе предусмотреть подсчет и вывод числа итераций, за которое удается найти значение корня с заданной точностью.
5. Сравнить полученное значение корня с истинным значением корня, приведенным в таблице вариантов.
6. Сделать анализ полученных результатов и составить отчет о проделанной работе.
4.4. Содержание отчета о выполнении работы
-
Цель работы.
-
Постановка задачи.
-
Краткое описание рассматриваемых методов решения нелинейных уравнений.
-
Анализ сходимости предлагаемых методов для решения поставленной задачи.
-
Обоснование выбора начального приближения из указанного отрезка поиска корня.
-
Результаты вычислительного эксперимента.
-
Анализ полученных результатов и выводы об их соответствии теоретически ожидаемым.
-
Приложения.
4.5. Контрольные вопросы
-
Сформулируйте постановку задачи поиска корня нелинейного алгебраического уравнения.
-
Каковы основные этапы поиска корня нелинейного алгебраического уравнения?
-
Дайте определение понятию «простой корень».
-
Что собой представляет корень кратности k?
-
Какие основные методы решения задачи поиска корня нелинейного алгебраического уравнения Вы знаете?
-
В чём состоит суть модификации классического метода Ньютона-Рафсона для решения нелинейных алгебраических уравнений?
-
Дайте определение понятию «сходимость» при решении задачи поиска простых корней.
-
Какие методы поиска корней нелинейных уравнений называются многошаговыми? Приведите примеры одношаговых и многошаговых методов.
-
Что такое «интервал неопределенности» при поиске корня?
-
Как определить радиус интервала неопределённости при решении задачи поиска простого корня нелинейного уравнения с заданной точностью?
5. Лабораторная работа №5 «Численное решение дифференциальных уравнений»
5.1. Цель работы
Получить навыки применения методов численного решения дифференциальных уравнений.
5.2. Краткие теоретические сведения
Обыкновенным дифференциальным уравнением (ОДУ) называется выражение:
(5.1)
где х независимая переменная;
y(х) искомая функция (решение дифференциального уравнения);
производные порядка 1, 2, ..., n функции y(х).
Порядок старшей производной, входящей в уравнение (5.1) называется порядком дифференциального уравнения.
Функция называется решением уравнения (5.1), если при подстановке ее в выражение (5.1) последнее обращается в тождество.
Каждое дифференциальное уравнение имеет в общем случае бесконечное множество решений.
Для нахождения частного решения необходимо указать начальные условия, а именно: задать значения при , т.е.
. (5.2)
Уравнение (5.1) называется разрешенным относительно старшей производной, если оно имеет вид:
(5.3)
Задача отыскания решения уравнения (5.3) при начальных условиях (5.2) называется задачей Коши для обыкновенного дифференциального уравнения.
Уравнение (5.3) сводится к системе n обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка заменой на независимую функцию: y на P1(x);
y на P2(x); …, y(n-1) на P(n-1)(x).
Таким образом, имеем:
(5.4)
причем .
Часто решение уравнения не удается найти в общем виде. Поэтому возникает необходимость применять те или иные методы, дающие приближенное решение задачи: