1. Вероятность. Гауссово распределение

Поскольку появление того или иного значения x в процессе измерения

P = 0,95

является случайным событием, необходимо ввести понятие вероятности

события (математической), как количественной меры объективной возможности появления данного события. Событием назовем результат опыта. Если событие достоверное, т.е. всегда наступающее в результате опыта, то его вероятность равна 1. Вероятность невозможного события, т.е. никогда не наступающего в результате опыта равно нулю. Поэтому вероятность любого события лежит в промежутке [0;1].

Пусть n - число измерений, а A n - число результатов, попадающих в заданный промежуток значений, тогда вероятность события есть предел отношения этих величин при n ® ¥ _:

An

P = lim—. (1.1)

n® ¥ n

Плотностью вероятности ^P(x) назовём отношение вероятности того, что значение величины попадает в заданный интервал, к ширине этого интервала значений:

P

^{P( x)} =Ax • ^(L2)

Плотность вероятности возникновения значения x_;, как правило, определяется законом нормального распределения Гаусса:

ТЛ/ N 1 [ (x - < x > )² ]

^P(xi^{) =}^2Г Ч 2^")' ⁽¹.³⁾

где s - средняя квадратичная погрешность, определяемая дисперсией D (разброс) распределения

(1.4)

s

I (x, - < x > )²

i = 1

-, n ® ¥ '

(n - 1)

График функции распределения показан на рис.10, откуда видно, что гауссова кривая имеет симметричный колоколообразный вид, характеризуемый двумя параметрами: положением вершины - x, 2s - расстоянием между точками перегиба. Здесь s - характеризует степень влияния случайных погрешностей на результаты измерения: чем меньше ^s , тем уже гауссова кривая.

Рис.10. График функции распределения

Для каждой серии измерений среднее арифметическое будет различным, и само будет являться случайной величиной, определяемой выражением

s

< х>

(1.5)

Так как < х >» х, то значение х должно лежать в некоторых пределах

значений вблизи < X > . Назовем доверительным интервалом интервал

значений [ < х >-А х; < х >+А х ], в который истинное значение х попадает с заданной вероятностью. Доверительной вероятностью (надежностью) -

называется вероятность того, что истинное значение измеряемой величины х попадает в заданный доверительный интервал. Чем больше ширина доверительного интервала, тем с большей вероятностью искомая величина

попадает в этот интервал. При конечном числе измерений S < > заменяют его

приближенным значением S< > , называемым средним квадратичным

отклонением среднего арифметического:

У (х,. - < х > )²

I

^S<r,

k 1 . (1.6)

n(n - 1)

Если систематическими погрешностями можно пренебречь, то при числе

измерений n > 5 с доверительной вероятностью P » 2/3 можно считать А х » S

. Для более точного нахождения доверительного интервала вводят коэффициент ^tp,n , зависящий от числа измерений и доверительной вероятности.