- •1. Физические величины и их измерение
- •2. Погрешности измерений
- •3. Методика расчета случайных погрешностей прямых измерений
- •5.Полная и относительная погрешность
- •6. Оценка погрешности косвенных измерений
- •7. Правила округления
- •8. Графическое представление результатов измерений
- •9. Метод наименьших квадратов
- •1. Измерение длин
- •2. Штангенциркуль
- •3. Микрометр
- •1. Вероятность. Гауссово распределение
- •2. Метод наименьших квадратов
- •3. Характеристики приборов
- •Введение в лабораторный практикум
7. Правила округления
В результате любых измерений, прямых или косвенных, получаются приближенные числа. Значащими цифрами числа называют все цифры в его записи, начиная с первой ненулевой слева. Значащие цифры, составляющие число могут быть верными, сомнительными и неверными. Цифра называется верной, если погрешность числа меньше половины единицы разряда этой цифры. Цифры, стоящие левее верной цифры, также будут верными. Если разряд цифры совпадает с разрядом первой значащей цифры погрешности, то цифра называется сомнительной. Цифры, стоящие справа от сомнительной будут неверными.
При выполнении расчетов нужно придерживаться следующих правил:
-
В лабораторных работах исходными данными для вычислений служат результаты прямых измерений, последняя цифра которых обычно сомнительная.
-
Физические константы или табличные данные содержат только верные числа, а погрешность табличных данных, если она не указана, считают равной половине разряда последней значащей цифры.
-
При округлении, если цифра, расположенная за оставляемой, меньше 5, то ее просто отбрасывают, иначе оставляемую цифру увеличивают на единицу. Если отбрасываемая цифра равна 5, а следующие за ней отброшенные цифры ненулевые, то оставляемую цифру увеличивают на единицу. Если же отбрасываемая цифра равна 5, а следующие за ней цифры среди отброшенных равны нулю, то наименьшая ошибка достигается при округлении по правилу Гаусса до ближайшего четного числа. Пример: 2,54-2,5; 5,6500-5,6; 8,751-8,8.
-
При сложении и вычитании результат округляется до наименьшего разряда с наименьшим количеством значащих цифр. Пример: 2,17+3,3=5,5.
-
При умножении и делении в результате сохраняют столько же значащих цифр, сколько их имеется в числе с наименьшим числом значащих цифр. Исключение составляет случай, когда один из сомножителей начинается с 1, а второй, содержащий наименьшее количество значащих цифр, - с другой цифры. Тогда сохраняют на одну цифру больше, чем в числе с наименьшим количеством значащих цифр. Пример: 59 х 0,0273=1,6.
-
При возведении в любую степень (в том числе и дробную) нужно сохранять столько значащих цифр, сколько их содержится в возводимом числе. Пример: 3,72 =14.
-
При вычислении промежуточных результатов следует сохранять одной цифрой больше, чем этого требуют сформулированные выше правила. В конечном результате запасная цифра отбрасывается.
-
Если данные имеют излишние младшие десятичные разряды (при сложении и вычитании) или больше значащих цифр, чем другие (при умножении, делении, возведении в степень), то их предварительно нужно округлить, сохраняя одну запасную цифру.
-
Нахождение числа из таблиц считается за отдельное действие, и если оно является промежуточным, то берется запасная цифра.
При окончательной записи результата необходимо опираться на следующие правила:
1. Выполнить предварительную запись окончательного результата измерения в виде (17) и вынести за общую скобку одинаковые порядки среднего и погрешности, т.е. множитель вида 10k, где k - целое число. Числа в скобках переписать в десятичном виде с использованием запятой, убрав тем самым оставшиеся порядковые множители.
-
Округлить в скобках число, соответствующее погрешности: до двух значащих цифр, если первая из них - 1 или 2, и до одной значащей цифры - в противном случае.
-
Округлить в скобках числовое значение среднего арифметического до цифры того же порядка, что и значение погрешности после ее округления.
-
Окончательно записать х = < х > ±dX с учетом выполненных округлений. Общий порядок и единицы измерения величины приводят за скобками - получена стандартная форма записи, которая содержит только достоверные, т.е. надежно измеренные, цифры.
Например: пусть < X > =73,647мм, а 8х =0,039мм. Округляем до первой
значащей цифры и переводим в метры 8х =0,04мм=0,04 • 10-3м, затем < X >
округляем до цифры того же разряда что и погрешность < X > =73,65мм=73,65 • 10-3 м. Тогда окончательно получим:
х =(73,65± 0,04)• 10-3м.