5.Полная и относительная погрешность
Для того чтобы оценить границы полной погрешности результата измерений dx сравним систематическую погрешность и среднее квадратичное отклонение.
Если их отношение попадает в интервал значений 0 8 £ S < 8, рассчитаем полную погрешность согласно формуле:
Sx - д/(Аx)2 + © 2 . (8)
Если же выполняется неравенство © > 8, тогда полную погрешность считаем
равной систематической погрешности Sx . В случае © < о.8 пренебрегаем
систематической погрешностью, т.е. Sx » Аx .
Истинное (абсолютное) значение измеряемой величины будет находиться в пределах доверительного интервала ее значений, записанного в стандартной форме (см. п.7):
x -< x > ±Sx при P - 0.95 . (9)
Графически доверительный интервал значений измеренной величины можно изобразить в виде отрезка на числовой прямой (рис. 1).
О <х>- 5х <х> <х>+5х х
Рис.1. Доверительный интервал значений величины x .
Если измерение величины производиться один раз или повторные результаты измерения величины одинаковы, тогда погрешность измерения Sx будет определяться только систематической погрешностью прибора Sx - © . Качественной мерой точности результатов измерения является относительная погрешность 1 , определяемая из сравнения случайной погрешности измеренной величины со средним значением этой величины:
Sx
1 - , (10)
< x >
или в процентах
Sx
1 100%. (11)
< x >
6. Оценка погрешности косвенных измерений
Рассмотрим, каким образом оценить случайную погрешность косвенно измеряемой величины y, которая зависит от некоторого числа m прямо измеряемых величин x, т.е. является функцией
(12)
Среднее значение < y > можно найти из известной функциональной
(13)
< У >= f (< Х1 >,< Х2 >,...,< xm > )
Из теории вероятности следует, что относительная погрешность косвенного измерения величины y при условии независимости погрешностей измеряемых аргументов друг от друга определяется формулой:
2
\
2
2
8
f
S x1 {S
x1
f
8
f
S x,
{
8
x2
f
(14)
+
+
... +
g
_
<
у > 1
8
x f
m
J
\
m
8f
8x.
где
величин, рассчитанные при одинаковой доверительной вероятности Р.
Частная производная 8f / 8 x. - это такая производная, которую вычисляют от функции f по аргументу x., считая все остальные аргументы постоянными.
1 8f _8 ln f
С учетом того, что f 8— _ _8— формулу (14) для относительной погрешности
f xi xi
косвенно измеряемой величины y можно представить как
\
2
8
ln
f
8
x
S
У
_ < У > \
n
(15)
S
x
g
i__
1
Формулу (14) применяют в тех случаях, когда в зависимости (12) измеряемые величины xi входят, в основном, в виде слагаемых, а формула (15) оказывается особенно удобной тогда, когда правая часть (12) представляет собой произведение величин xi .
Из формулы (15) получим значение случайной погрешности косвенного измерения
d _у{У) (16)
Окончательно записываем результат измерения в виде доверительного интервала:
У _< У > ±^У при P _ 0.95. (17)
Это значит, что истинное значение y с вероятностью P _ 0.95 находится в пределе интервала < y > ±Sy (в 95 случаях из 100 результат измерений попадает в этот интервал).