- •1. Физические величины и их измерение
- •2. Погрешности измерений
- •3. Методика расчета случайных погрешностей прямых измерений
- •5.Полная и относительная погрешность
- •6. Оценка погрешности косвенных измерений
- •7. Правила округления
- •8. Графическое представление результатов измерений
- •9. Метод наименьших квадратов
- •1. Измерение длин
- •2. Штангенциркуль
- •3. Микрометр
- •1. Вероятность. Гауссово распределение
- •2. Метод наименьших квадратов
- •3. Характеристики приборов
- •Введение в лабораторный практикум
8. Графическое представление результатов измерений
Графический способ представления результатов измерений широко используется на практике. Рассмотрим правила, которые применяются при построении графиков.
-
Графики строятся на бумаге, снабженной координатной сеткой (например, миллиметровой).
-
Каждый график подписывается.
-
Наносятся координатные оси графика.
-
На концах осей указываются откладываемые физические величины и их размерности. Обычно порядок масштаба, т.е. 10 ±n также выносится на конец оси. Расшифровка обозначений дается либо в тексте, либо в надписи под графиком.
-
Масштабные деления откладываются через равные промежутки. Расстояние между делениями по оси абсцисс и ординат можно выбирать различными.
-
Масштаб должен быть простым, поэтому на оси наносят масштабные деления так, чтобы расстояние между делениями составляло 1, 2, 5 единиц измеренной величины (или 0.1, 0.2, 0.5, или 10, 20, 50 и т.д.).
-
Нумеруют масштабные деления через равные промежутки, так чтобы числа не сливались.
-
Точка пересечения осей не обязательно должна соответствовать нулю по каждой из осей, кроме тех случаев, когда это необходимо.
-
Начало отсчета по осям и масштабы следует выбирать так, чтобы график занял всю координатную плоскость.
-
После построения осей наносят экспериментальные точки, обозначая их маленькими кружками, квадратиками и т.д.
-
Если на одной координатной плоскости строится несколько графиков, то для точек выбираются разные обозначения. Затем от каждой точки вверх, вниз и вправо, влево откладывают отрезки, соответствующие погрешностям (доверительным интервалам) точек в масштабах осей.
-
Если погрешность по одной из осей (или по обеим осям) оказывается слишком малой, то предполагается, что она отображается на графике размером самой точки.
-
По экспериментальным точкам строится теоретический график той функции (линейной, квадратичной, экспоненциальной, тригонометрической и т.д.), которая отражает физическую закономерность, выраженную в виде соответствующей формулы. Причем, сам график должен лежать в пределах погрешностей каждой из экспериментальных точек. В случае явной нелинейности, точки соединяют «наилучшей» плавной кривой.
В лабораторном практикуме встречаются два случая: проведение теоретического графика для нахождения из эксперимента неизвестных параметров функции (тангенса угла наклона прямой, показателя экспоненты и т.д.) либо делается сравнение предсказаний теории с результатами эксперимента.
В первом случае график соответствующей функции проводится "на глаз" так, чтобы он проходил по всем областям погрешности возможно ближе к экспериментальным точкам. При проведении графика "на глаз" рекомендуется пользоваться зрительным ощущением равенства нулю суммы положительных и отрицательных отклонений точек от проводимой кривой.
Во втором случае график строится по результатам расчетов, причем расчетные значения находятся не только для тех точек, которые были получены в опыте, а с некоторым шагом по всей области измерений для получения плавной кривой. После проведения теоретической кривой расчетные точки с графика убираются.
Если в расчетную формулу входит уже определенный (или заранее известный) экспериментальный параметр, то расчеты проводятся как со средним значением параметра, так и с его максимальным и минимальным (в пределах погрешности) значением. На графике в этом случае изображается кривая, полученная со средним значением параметра, и полоса, ограниченная двумя расчетными кривыми для максимального и минимального значений параметра (рис.2а).
Рис.2
График: а) экспериментальной зависимости;
б)
линеаризованной зависимости.
В качестве примера рассмотрим случай, когда необходимо найти угловой коэффициент k для линеаризованной зависимости y = kx + Ъ, построенной в осях (y, x), со свободным членом b (рис.2б).
Графически угловой коэффициент можно найти как тангенс угла наклона прямой, т.е. отношение произвольного приращения Ay вдоль оси y к соответствующему приращению A x вдоль оси x с учетом масштаба из графика: k = A y / A x. Необходимо учесть, что угловой коэффициент может иметь различный знак в зависимости от ориентации прямой в выбранной системе отсчета.