Глава VIII

РАЗВИТИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ В ПЕРВОЙ ПОЛОВИНЕ XIX ВЕКА.

В работах Эйлера, Даламбера, Лагранжа, Клеро и других математиков и механиков XVIII столетия была сформирована теоретическая механика. К концу XVIII века она фактически выделилась из физики, т.к. ее развитие было более тесно связано с развитием математики, чем физики. В первой половине XIX века методы теоретической механики продолжали развиваться в работах Ж. В. Понселе, С. Д. Пуассона, У. Р. Гамильтона и других ученых.

Французский математик Жан Виктор Понселе ввел в механику важное понятие работы. Независимо от него в 1826 году понятие работы ввел и Густав Гаспар Кориолис. Исходя из понятия работы, Кориолис сформулировал теорему «живых сил», т.е. соотношение, которое мы сегодня называем теоремой о кинетической энергии:

(8.1)

При этом за меру живой силы Кориолис принял именно половину произведения массы на квадрат скорости.

Исследовав движение тел во вращающихся неинерциальных системах отсчета, Кориолис показал, что кроме центробежной силы в таких системах отсчета на тело действует дополнительная сила инерции , которая с тех пор носит название силы Кориолиса.

Особенно важный вклад в развитие теоретической механики в XIX столетии внес своими работами ирландский физик и математик У. Р. Гамильтон. Он сумел свести систему n уравнений Лагранжа 2-го порядка (n – число степеней свободы механической системы) к системе 2n уравнений 1-го порядка:

(8.2)

Это и есть система канонических уравнений Гамильтона. Здесь и – соответственно обобщенные координаты и обобщенные импульсы, выступающие в каноническом формализме в качестве равноправных динамических переменных.

Функция Н называется функцией Гамильтона системы (или гамильтонианом). Гамильтон определил ее соотношением T=V+H, где половина «живой силы» частиц системы, а V – введенная Гамильтоном силовая функция, равная современной потенциальной энергии U с обратным знаком. Поэтому сегодня мы переписываем соотношение Гамильтона в виде H=T+U. Позже было получено более общее определяющее соотношение для функции Гамильтона:

(8.3)

Для консервативных систем функция Гамильтона тождественно совпадает с полной энергией системы.

В случае систем из большого числа частиц (взаимодействующих тел) решение как системы n уравнений Лагранжа, так и системы 2n канонических уравнений Гамильтона сопряжено со значительными математическими трудностями. Гамильтон предложил метод, в котором «задача сводится к отысканию и дифференцированию одной единственной функции», которую он назвал характеристической. Характеристическая функция Гамильтона W определяется интегралом где «полная живая сила» частиц системы. Соответственно, сегодня мы записываем характеристическую функцию Гамильтона в виде

(8.4)

Она удовлетворяет соотношению

(8.5)

поэтому определяющим функцию W уравнением в случае систем с сохраняющейся энергией является уравнение

(8.6)

Характеристическая функция как полный интеграл указанного уравнения содержит n произвольных констант ₁=Е, ₂ ,…, _n:

(8.7)

Гамильтон показал, что W удовлетворяет соотношениям

и (8.8)

где произвольные константы. Уравнения движения могут быть получены, если разрешить уравнения (8.8) относительно q₁,...,q_n.

В следующей статье – «Второй очерк об общем методе в динамике», опубликованной в 1835 году, Гамильтон вводит вместо характеристической функции W главную функцию S. Она представляет собой не что иное, как действие:

(8.9)

и удовлетворяет соотношениям

(8.10)

Метод Гамильтона был разработан и развит в «Лекциях по динамике» Карла Густава Якоби. Уравнение, которое получается, если подставить импульсы, выраженные согласно (8.10) через частные производные от главной функции Гамильтона по координатам, в первое из двух последних соотношений,

(8.11)

сегодня носит название уравнения Гамильтона–Якоби. Главная функция Гамильтона является полным интегралом уравнения Гамильтона-Якоби:

(8.12)

и удовлетворяет соотношениям

(8.13)

где и произвольные константы. Разрешая последние соотношения относительно q₁,…,q_n, мы опять-таки приходим к уравнениям движения.

Теория Гамильтона-Якоби получила широкое применение в начале XX столетия в решении задач атомной физики. Особенно плодотворной оказалась подмеченная Гамильтоном оптико-механическая аналогия. Действительно, в геометрической оптике за направление распространения светового луча принимается направление, нормальное к волновому фронту. Более внимательный взгляд на соотношение позволяет заметить, что в декартовых координатах это соотношение принимает вид . Оказывается, что в каждый момент времени частица в обычном трехмерном пространстве движется в направлении, нормальном к поверхности равных значений характеристической функции Гамильтона W. Аналогия с геометрической оптикой очевидна. Таким образом, поверхность равных значений W является как бы волновым фронтом некоторой волны, распространению которой в приближении геометрической оптики отвечает движение частицы с импульсом . Но о какой волне идет речь?

Ответ на этот вопрос был получен лишь в XX веке, когда была создана квантовая механика.