Закон I

Всякое тело продолжает удерживаться в своем состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока и поскольку оно не понуждается приложенными силами изменить это состояние.

Закон II

Изменение количества движения пропорционально приложенной движущей силе и происходит по направлению той прямой, по которой эта сила действует.

Закон III

Действию всегда есть равное и противоположное противодействие, иначе, взаимодействия двух тел друг на друга между собой равны и направлены в противоположные стороны.

Строго говоря, законы Ньютона не были открыты Ньютоном, а, как уже отмечалось, явились обобщением предшествующих знаний. Закон инерции (первый закон Ньютона) восходит к Галилею. Гюйгенс в 1659 году вывел формулу для центростремительной силы при движении по окружности. А это значит, что хотя бы для данной конкретной задачи, Гюйгенсу удалось овладеть «вторым законом Ньютона».

В формулировке третьего закона впервые в механике Ньютона появляется термин «взаимодействие». Сила – это мера взаимодействия между телами. Из математического выражения силы и третьего закона Ньютон выводит закон сохранения импульса для замкнутой системы и закон сохранения количества движения центра тяжести: «По отношению к центру тяжести системы нескольких тел имеет место тот же самый закон сохранения состояния покоя или равномерного и прямолинейного движения, как и для одного тела».

Так как по II закону действие силы определяется только изменением количества движения тела и не зависит от наличия других сил и состояния движения тел, то Ньютон в качестве следствия закона формулирует принцип суперпозиции в виде правила параллелограмма сил.

О

Закон всемирного тяготения

сновой ньютоновской динамики является понятие силы, а основная задача динамики сводится к установлению вида силы, исходя из характера движения и, обратно, определению закона движения тел под действием заданной силы. Так, из законов Кеплера Ньютон вывел существование в природе силы, обусловливающей взаимное притяжение тел и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними, т.е. силы всемирного тяготения. Тем самым Ньютон решил задачу физического обоснования системы Коперника.

Естественно, что природа силы, заставляющей планеты двигаться вокруг Солнца, являлась предметом размышлений многих ученых, как до Ньютона, так и его современников. Так, один из членов Флорентийской Академии опыта – Борелли – считал, что движения небесных тел обусловлены конкуренцией двух сил – центробежной, отталкивающей тело от центра вращения, и центростремительной, влекущей тело к центру. Рассматривая в 1666 году теорию движения спутников Юпитера, он писал: «Предположим, что планета стремится к Солнцу и в то же время своим круговым движением удаляется от этого центрального тела, лежащего в середине круга. Если обе эти противоположные силы равны между собой, то они должны уравновеситься – планета не будет в состоянии ни приблизиться к Солнцу, ни отойти от него дальше известных пределов и в таком равновесии будет продолжать свое обращение около Солнца».

Закон обратных квадратов для притяжения фигурировал в книге И. Буйо в 1645 году. Но это были лишь догадки, либо результаты пусть красивых, но не строгих аналогий (например, гидродинамической аналогии, сравнивающей силы тяготения в пространстве вокруг массивного тела со сферически симметричным течением несжимаемой жидкости – это течение по радиусам со скоростью, обратно пропорциональной квадрату расстояния до центра). И лишь Ньютону удалось создать последовательную теорию сил тяготения.

Для этого Ньютон предположил, что сила, заставляющая Луну двигаться по орбите вокруг Земли, – это по сути та же сила, которая притягивает тела вблизи поверхности Земли. Это означало, что движение Луны есть просто свободное падение ее на Землю. Вблизи поверхности Земли ускорение свободного падения одинаково для всех тел и равно g = 9,8 м/с². Луна обращается вокруг Земли примерно по круговой орбите радиусом r = 384000 км, совершая полный оборот за T = 27,3 суток. Отсюда легко вычислить центростремительное ускорение Луны: 0,0027 м/с². Но это и есть ускорение свободного падения Луны на Землю на расстоянии r от центра Земли. Таким образом,

.

Здесь R  6400 км – радиус Земли.

Очевидно, с учетом II закона этому же должно равняться отношение сил тяготения на расстояниях r и R. С другой стороны легко убедиться, что r/R  60. То есть при увеличении расстояния от центра Земли в 60 раз сила тяготения ослабевает в 3600 = 60² раз. Отсюда и следует закон обратных квадратов.

Из II закона также следует, что сила тяготения должна быть пропорциональна массе притягивающегося тела m. Но Ньютон предполагает, что силы тяготения присущи всем телам, следовательно, и Луна притягивает Землю. Задача симметрична по отношению к двум взаимно тяготеющим телам, поэтому сила должна быть пропорциональна и массе второго тела M:

«Тяготение существует ко всем телам вообще и пропорционально массе каждого из них».

«Тяготение ко всей планете происходит и слагается из тяготений к отдельным частям ее».

«Тяготение к отдельным равным частицам тел обратно пропорционально квадратам расстояний до частиц».

Так формулирует Ньютон свой знаменитый закон, который мы сегодня выражаем компактной формулой

. (4.1)

После открытия Ньютоном закона всемирного тяготения масса становится характеристикой не только инертности тел, но и их гравитации. В то же время инертность и гравитация – это совершенно различные физические явления. Поэтому в формуле (4.1) под m и M следует подразумевать гравитационные массы, а в формуле II закона F = mg – инертную массу. Следовательно, ускорение свободного падения

(4.2)

зависит от отношения гравитационной m_г и инертной m_и масс тела. Экспериментальный факт постоянства ускорения свободного падения для всех тел означает строгую пропорциональность гравитационной и инертной масс; т.е. можно просто положить их равными друг другу. Ньютон понимал важность точного установления этого факта. Он проверил экспериментально утверждение Галилея, поместив в трубку перышко, кусок свинца и пробку. Откачав из трубки воздух, он убедился, что различные тела в вакууме падают с одинаковой скоростью. Ньютон провел ряд экспериментов по измерению периода колебаний круговых маятников с одинаковой длиной подвеса, но грузами различной массы. Периоды колебаний совпадали с очень большой точностью. Факт независимости ускорения свободного падения от массы тела был экспериментально подтвержден. Опыты Ньютона показали, что гравитационная и инертная массы равны с точностью до 0,001. Последующие эксперименты доказали это равенство с еще более высокой степенью точности.

Но какой глубинный физический смысл кроется за равенством инертной и гравитационной масс? Этот вопрос оставался загадкой до начала XX века, когда Эйнштейн положил этот факт в основу сформулированного им принципа эквивалентности, построив релятивистскую теорию тяготения.

Исторической справедливости ради отметим, что толчком, побудившим Ньютона к серьезным исследованиям тяготения, было письмо Роберта Гука, бывшего тогда куратором Лондонского Королевского общества. В переписке с Ньютоном в конце 1679 – начале 1680 гг. Гук сообщил ему свои идеи о тяготении:

а) тела, притягивающиеся к центру по закону обратных квадратов, движутся по кривым, похожим на эллипсы;

б) экспериментально установлено, что сила притяжения Землей убывает с высотой;

в) при падении в глубокую шахту сила притяжения Землей должна убывать, подобно тому как упругая сила убывает при приближении к положению равновесия.

Гук не сумел точно определить форму орбит. Ньютон справился с этой задачей. Его геометрическое доказательство было настолько сложным, что Ньютону стало ясно: Гук «утверждал больше, нежели знал». Поэтому в дальнейшем Ньютон избегал ссылок на Гука, что явилось причиной спора о приоритете.

Рис. 12. Вычисление притяжения сферическим слоем по Ньютону

Доказав эллиптичность орбит, Ньютон все еще не считал закон тяготения доказанным. Его останавливало то, что Земля – не точечная масса. Вдали от притягивающего тела его притяжение, конечно, близко к притяжению такой же массы, помещенной в центр тела. Но вывод закона тяготения основан на сравнении притяжения Землей Луны и падающего на Землю камня. При расчете притяжения Луны Землю еще допустимо считать точкой, но для камня положение иное: нужно доказать, что, хотя разные части Земли и притягивают камень в разные стороны, но равнодействующая всех этих сил такая же, как если бы вся масса была сосредоточена в центре. Ньютон смог доказать и это утверждение. Попутно он доказал, что равнодействующая сил, действующих на тело, помещенное внутрь гравитирующего сферического слоя, равна нулю. Доказательство было основано на том, что силы, действующие на тело массы m со стороны противоположных элементов объема V₁ и V₂ (выделяемых из сферического слоя телесным углом ), противоположны по направлению и равны по величине, так как объемы V₁ и V₂ прямо пропорциональны квадратам расстояний r и R (рис. 12).