Принцип наименьшего действия

В XVIII веке происходило не только развитие методов ньютоновской механики. Этот век отмечен поисками общих принципов механики, эквивалентных законам Ньютона, или даже более общих, чем эти законы. Среди открытых принципов особого внимания заслуживает принцип наименьшего действия.

История принципа наименьшего действия восходит к Герону Александрийскому. Древние греки пытались ответить на вопрос, каким принципом описывается распространение световых лучей? Самым простым и напрашивающимся ответом при рассмотрении распространения света в однородной среде был следующий: свет распространяется по прямой линии, соединяющей начальную и конечную точки в пространстве, т.е. по линии наикратчайшего расстояния между данными точками. Но распространение света в неоднородной среде опровергает этот вывод. Следующим шагом, как мы помним, явился принцип Ферма, согласно которому свет распространяется по линии, отвечающей минимальному времени распространения между заданными точками. Аналогично еще в древности был поставлен вопрос, исходя из какого принципа тело «выбирает» траекторию движения между двумя фиксированными точками? Очевидно, что эта траектория будет являться прямой линией лишь в очень ограниченном классе задач. Земля движется вокруг Солнца по эллиптической траектории. Тело, брошенное под углом к горизонту, описывает параболу, и т.д. Итак, идея о кратчайшем пути ошибочна.

В 1696 году Иоганн Бернулли предложил вариационную задачу о линии наискорейшего скатывания массивной материальной точки в поле земного тяготения (брахистохроне): «В вертикальной плоскости даны две точки A и B. Определить путь AMB, спускаясь по которому под влиянием собственной тяжести, тело М, начав двигаться из точки A, дойдет до другой точки B в кратчайшее время». И в принципе Ферма и в задаче о брахистохроне речь шла об отыскании минимального значения интеграла Бернулли писал: «Мною открыто удивительное совпадение между кривизной луча света в непрерывно меняющейся среде и нашей брахистохронной кривой». Так впервые была подмечена оптико-механическая аналогия, сыгравшая важную роль в истории физики.

Так, может быть, на движение материальных частиц можно распространить утверждение Ферма для света о кратчайшем времени движения между двумя точками? Оказывается, нет. Дело в том, что время, за которое проходится определенный отрезок пути, – чисто внешняя характеристика движения. Для материальной частицы помимо времени (т.е. скорости и проходимого за данный промежуток времени пути) существенное значение имеют ее внутренние характеристики. Такой характеристикой для частицы в гравитационном поле является ее масса m.

Первый физический принцип, учитывающий как внешние, так и внутренние характеристики движения, был предложен французским ученым Пьером Мопертюи. Начиная с 1744 года он опубликовал ряд работ, в которых сформулировал новый принцип, названный им принципом «наименьшего количества действия». «Действием» Мопертюи называл величину mvs, равную произведению массы на скорость и на пройденный путь. Предложенный Мопертюи принцип сводился к утверждению, что всякое движение в природе осуществляется так, чтобы «действие» было минимальным: «Когда в природе происходит некоторое изменение, количество действия, необходимое для этого изменения, является наименьшим возможным».

Предложенный Мопертюи принцип был развит Л. Эйлером. В своей книге «Метод нахождения кривых линий» Эйлер публикует статью «Об определении движения брошенных тел в несопротивляющейся среде методом максимумов и минимумов». «Так как все явления природы, – пишет Эйлер в этой статье, – следуют какому-нибудь закону максимума или минимума, то нет никакого сомнения, что и для кривых линий, которые описывают брошенные тела, когда на них действуют какие-нибудь силы, имеет место какое-то свойство максимума или минимума». «Я утверждаю, – пишет далее Эйлер, – что линия, описываемая телом, будет такова, что среди всех других линий, содержащихся между теми же пределами, у нее будет минимум ...». Здесь обозначено: M – масса тела, v – его скорость, s – пройденный путь. Поскольку ds = vdt, то

(5.6)

Таким образом, «для кривой, описываемой брошенным телом, сумма всех живых сил, находящихся в теле в отдельные моменты времени, будет наименьшей». Напомним, что во времена Эйлера в механику еще не были введены понятия работы и энергии, а «живой силой» именовалась величина .

Рассмотренный принцип позволял найти основные закономерности движения в случае абсолютно упругого и абсолютно неупругого удара, а также в простейшем случае свободной частицы. Рассмотрим подробнее последний случай. Пусть свободная частица находилась в точке A в момент времени и в точке B в момент времени . Из условия следует, что между точками А и В частица двигалась равномерно. Действительно, заметим, что величина есть не что иное, как среднее значение квадрата скорости В случае равномерного движения средняя скорость совпадает со скоростью движения в каждый момент времени, поэтому В случае неравномерного движения средняя скорость не должна измениться, т.к. в точках А и В тело опять таки должно побывать в моменты времени и (рис.13). Но в этом случае следовательно, согласно известному соотношению,

откуда следует

Итак, интеграл

достигает своего минимума в случае, когда скорость движения постоянна.

При движении под действием внешних сил выбранная Мопертюи функция не давала правильных уравнений движения. Тем не менее, нап

равление исследований уже было указано. Предложения Ферма, Мопертюи и Эйлера наводили на мысль, что движение любой механической системы осуществляется таким образом, чтобы некоторая величина, характеризующая движение и конструируемая из внешних и внутренних параметров, для истинного пути принимала минимальное значение по сравн

Рис. 13. Действие минимально,

когда скорость движения

постоянна

ению с ее значениями для бесконечно близких возможных путей. Со времен Мопертюи физики называют эту величину действием, хотя и определяют ее по иному. Дальнейшие исследования показали, что если определить действие, как интеграл от разности кинетической и потенциальной энергий

(5.7)

то требование его минимальности приводит к уравнениям движения, совпадающим со вторым законом Ньютона

(5.8)

где составляющие вектора силы определяются как компоненты градиента потенциальной энергии с обратным знаком. Сегодня действием называют функционал где функция носит название функции Лагранжа (радиус-вектор материальной точки, ее скорость вдоль траектории). Действие задается как интеграл вдоль траектории частицы и, следовательно, требование минимальности такого функционала математически сводится к требованию равенства нулю его вариации:

(5.9)