- •25.1. Общие положения 103
- •27.1. Общие положения 116
- •31.1. Общие положения 140
- •1.2. Центральное проецирование
- •1.3. Параллельное проецирование
- •2.1. Инвариантные свойства параллельного проецирования
- •2.2. Прямоугольное (ортогональное) проецирование
- •2.1. Инвариантные свойства параллельного проецирования
- •2.2. Прямоугольное (ортогональное) проецирование
- •3.3. Коэффициенты искажения
- •3.4. Виды аксонометрических проекций
- •4.2. Прямоугольная изометрическая проекция
- •4.3. Прямоугольная диметрическая проекция
- •4.4. Косоугольная фронтальная диметрическая проекция
- •5.1. Комплексный чертеж точки
- •5.2. Проекции прямых общего положения
- •5.1. Комплексный чертеж точки
- •5.2. Проекции прямых общего положения
- •6.2. Проекции проецирующих прямых
- •6.3. Определение натуральной величины отрезка прямой общего положения
- •6.4. Деление отрезка прямой в данном отношении
- •7.2. Пересекающиеся прямые
- •7.3. Скрещивающиеся прямые
- •8.1.1. Проекции плоскостей уровня
- •8.1.2. Проекции проецирующих плоскостей
- •8.1.1. Проекции плоскостей уровня
- •8.1.2. Проекции проецирующих плоскостей
- •9.1. Взаимное расположение двух плоскостей
- •9.2. Пересечение плоскостей общего положения
- •9.1. Взаимное расположение двух плоскостей
- •9.2. Пересечение плоскостей общего положения
- •10.2. Пересечение прямой линии с плоскостью
- •10.3. Условие видимости на чертеже
- •11.2. Прямая, перпендикулярная к плоскости. Теорема о проецировании прямого угла
- •12.1. Перпендикулярные плоскости
- •12.2. Перпендикулярные прямые
- •12.1. Перпендикулярные плоскости
- •12.2. Перпендикулярные прямые
- •13.2.1. Падающая тень от точки
- •13.2.2. Падающая тень от прямой линии
- •13.2.3. Тень от плоской фигуры
- •13.2. Тени от точки, линии и плоской фигуры
- •13.2.1. Падающая тень от точки
- •13.2.2. Падающая тень от прямой линии
- •13.2.3. Тень от плоской фигуры
- •13.2.4. Тень от диска (окружности)
- •14.1. Тень, падающая от одной фигуры на другую
- •1. Метод обратных лучей
- •14.1. Тень, падающая от одной фигуры на другую
- •14.1.1. Метод обратных лучей
- •2. Метод следа светового луча (метод сечения лучевой плоскостью)
- •15.1. Тени геометрических тел
- •15.1.1 Тени многогранников
- •15.1.2. Тени цилиндра
- •15.1.3. Тени конуса
- •15.1. Тени геометрических тел
- •15.1.1 Тени многогранников
- •15.1.2. Тени цилиндра
- •15.1.3. Тени конуса
- •16.1. Тени пересекающихся многогранников (от здания)
- •Тени пересекающихся многогранников (от здания)
- •17.1. Тени на фасадах зданий
- •17.1.1. Построение теней в нишах
- •Тени на фасадах зданий
- •17.1.1. Построение теней в нишах
- •Тени от выступов
- •18.2. Замена плоскостей проекций
- •19.1. Вращение вокруг оси, перпендикулярной плоскости проекций.
- •19.2. Плоскопараллельное движение.
- •19.1. Вращение вокруг оси, перпендикулярной плоскости проекций
- •19.2. Плоско-параллельное движение
- •20.1.1. Винтовая линия
- •20.2. Поверхности
- •20.2.1. Поверхности линейчатые
- •20.2.2. Поверхности линейчатые развертывающиеся
- •20.2..3. Поверхности линейчатые неразвертывающиеся
- •20.2.4. Поверхности нелинейчатые
- •20.2.5. Поверхности параллельного переноса, вращения и винтовые
- •21.1. Поверхности вращения
- •21.2.Поверхности винтовые
- •21.1. Поверхности вращения
- •21.2. Поверхности винтовые
- •22.2. Пересечение плоскостью поверхности вращения
- •23.3. Конические сечения.
- •23.3. Конические сечения
- •24.2. Пересечение прямой с поверхностью многогранника
- •24.3. Пересечение прямой с поверхностью вращения
- •25.2. Пересечение многогранников
- •25.3. Способ секущих плоскостей
- •Пересечение поверхностей
- •26.2. Способ эксцентрических сфер
- •26.3. Особые случаи пересечения. Теорема Монжа
- •27.2. Аналитический способ
- •27.3. Способ триангуляции (треугольников)
- •27.4. Способ нормального сечения
- •28.1. Способ раскатки
- •28.2. Приближенные построения разверток
- •28.1. Способ раскатки
- •28.2. Приближенные построения разверток
- •Список рекомендованой литературы к разделам 1‑9
- •Введение в черчение
- •29.1. Инструмент и материал
- •29.2. Форматы
- •29.3. Масштабы
- •30.3.1. Порядок заполнения основной надписи
- •30.2. Шрифты чертежные
- •Основная надпись
- •Порядок выполнения основной надписи
- •30.3.1. Порядок заполнения основной надписи
- •31.2.1. Построение касательной к окружности
- •31.2. Построение касательных и касание окружностей
- •31.2.1. Построение касательной к окружности
- •31.2.2. Касание окружностей
- •31.2.3. Построение касательных к двум окружностям
- •Сопряжения с помощью дуги окружности
- •31.2.4. Сопряжение двух прямых дугой окружности
- •31.2.5. Сопряжение дуги и прямой дугой окружности заданного радиуса
- •31.2.6. Сопряжение двух дуг дугой окружности заданного радиуса
- •32.1.Вычерчивание контуров деталей
- •32.2. Архитектурные обломы
- •32.1.Вычерчивание контуров деталей
- •32.2. Архитектурные обломы
- •33.1 Циркульные кривые
- •33.1.1 Завитки
- •33.2. Коробовые кривые
- •33.3. Лекальные кривые
- •33.3.1. Порядок вычерчивания лекальных кривых
- •33.3.2. Способы построения некоторых лекальных кривых
- •34.1. Правила и рекомендации при простановке размеров нанесение размеров
- •34.1. Правила и рекомендации при простановке размеров
22.2. Пересечение плоскостью поверхности вращения
Линия пересечения кривой поверхности плоскостью представляет собой плоскую кривую линию (сечение), для построения которой необходимо определить отдельные точки сечения и соединить и последовательно плавной кривой.
Построение точек сечения поверхности вращения, как правило, начинают с определения опорных точек. К ним относятся следующие точки: высшая и низшая, ближайшая и наиболее удаленная, точки видимости и др.
Остальные точки (промежуточные) находятся либо по линиям связи, т.е. без дополнительных построений, либо с применением вспомогательных секущих плоскостей.
Пример 1. На рис. 140 даны поверхность вращения и фронтальнопроецирующая плоскость Р. Построить проекции и истинный вид сечения поверхности плоскостью.
Рис. 133
Сначала находим опорные точки линии пересечения, а потом ряд промежуточных ее точек. Опорными точками являются:
точки 1 и 2 – точки встречи главного меридиана с плоскостью Р (одновременно это высшая и низшая, крайняя левая и крайняя правая точки сечения);
точки 3 и 4 – точки встречи экватора с плоскостью Р (ближайшая и наиболее удаленная точки сечения).
Указанные точки являются также точками границ видимости линии сечения соответственно на фронтальной и на горизонтальной проекции.
Для построения горизонтальных проекций промежуточных точек проводим ряд вспомогательных горизонтальных плоскостей (1,2,3), каждая из которых пересекает поверхность вращения по окружности соответствующего радиуса, а плоскость Р – по горизонтали, перпендикулярной плоскости V.
На пересечении горизонтальных проекций окружностей с горизонтальными проекциями горизонталей находятся горизонтальные проекции искомых точек.
План:
23.3. Конические сечения.
23.3. Конические сечения
Коническими сечениями называются линии, которые получаются при пересечении поверхности конуса второго порядка с плоскостью. К числу этих линий относятся следующие: окружность, двойная прямая, две пересекающиеся прямые, эллипс, парабола, гипербола. Простейшим коническим сечением является точка.
Рассмотрим все виды конических сечений и условия, при которых они получаются, на примере конуса вращения, пересеченного проецирующими плоскостями рис. 141:
1) точка S, когда плоскость пересекает только вершину конуса (рис. 141а);
2) окружность, когда секущая плоскость перпендикулярна к оси конуса (рис. 141б);
3) двойная прямая, когда секущая плоскость является предельной, т. е. касательной к поверхности конуса (рис. 141в);
4) две пересекающиеся прямые, когда секущая плоскость проходит через вершину (рис. );
5) эллипс, когда плоскость пересекает все образующие конуса
и когда она не перпендикулярна его оси (рис. 141а).
Рис. 134
Признак, при котором получится эллипс, может быть выражен еще иначе. Обозначим половину угла при вершине конуса через , а угол наклона секущей плоскости к оси конуса – через . Тогда
o > o.
Для построения фронтальной проекции эллипса вначале отмечаем опорные точки А и В. Отрезок А”В”– фронтальная проекция большой оси эллипса (всей фигуры сечения).
Горизонтальная проекция эллипса строится по фронтальной. Для этого отрезок А”В” делится точкой С” пополам. В точку С”D” спроецируется малая ось эллипса, перпендикулярная к плоскости проекций V.
Для построения горизонтальных проекций промежуточных точек проводим ряд вспомогательных горизонтальных плоскостей (1,2,3), каждая из которых пересекает поверхность конуса по окружности соответствующего радиуса, а плоскость – по горизонтали, перпендикулярной плоскости V.
На пересечении горизонтальных проекций окружностей с горизонтальными проекциями горизонталей находятся горизонтальные проекции искомых точек.
Натуральная величина эллипса может быть легко построена методом замены плоскостей проекций. Для этого на произвольном расстоянии проведена ось симметрии фигуры сечения (большая ось эллипса), параллельно фронтальному следу проецирующей плоскости , и в обе стороны от нее перпендикулярно отложены величины, взятые с горизонтальной проекции фигуры сечения (так как горизонтальные проекции хорд эллипса, параллельные его малой оси, равны их натуральной величине) (рис. 142).
Рис. 135
6) Парабола, когда секущая плоскость параллельна одной из образующих конуса; в этом случае угол между плоскостью и осью конуса равен углу между образующей и осью конуса (рис. 143). Фронтальная проекция параболы сливается со следом 1 секущей плоскости. Для построения горизонтальной проекции параболы проводим ряд вспомогательных горизонтальных плоскостей (1,2), каждая из которых пересекает поверхность конуса по окружности, а плоскость -- по горизонтали, перпендикулярной к плоскости V. В пересечении горизонтальных проекций этих горизонталей с горизонтальными проекциями соответствующих окружностей получаем точки D', E', J', K'. Горизонтальную проекцию A' вершины параболы, а также горизонтальные проекции B' и C' точек, принадлежащих одновременно и окружности основания конуса получаем непосредственно, проводя линии из точек A'' и B'' C'' (рис. 143).
Натуральная величина параболы строится аналогично натуральной величине эллипса (рис. 143).
Рис. 136
7) Гипербола, когда секущая плоскость параллельна оси конуса (рис. 144). В этом случае угол равен нулю.
Так как секущая плоскость - профильная плоскость, фронтальная и горизонтальная плоскости гиперболы являются отрезками прямых. Точки A'' и P'' являются фронтальными проекциями вершин параболы. Их горизонтальные проекции A' P' определяются по линии связи (рис. 144). Промежуточные точки D, E, J, K найдены с помощью вспомогательных горизонтальных плоскостей (1,2).
Для построения натуральной величины гипербола совмещена с плоскостью H путем вращения вокруг хорды BC. Если образующие конуса, которым параллельна плоскость , ортогонально спроецировать на эту плоскость, то получим асимптоты гиперболы, которые совмещены с горизонтальной плоскостью проекций H (рис. 144).
Рис. 137
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
-
1.В чем состоит последовательный ход построения фигуры сечения многогранника плоскостью?
-
В чем заключается общий прием нахождения точек линии пересечения поверхности вращения плоскостью?
-
Какие точки линии пересечения называются опорными?
-
Как строятся проекции промежуточных точек линии пересечения?
-
При каких условиях получаются в сечении конуса эллипс, парабола, гипербола?
-
Какие плоскости обычно применяются в качестве вспомогательных при построении фигур плоских сечении?
План:
24.1. Общие положения
24.2. Пересечение прямой с поверхностью многогранника.
24.3. Пересечение прямой с поверхностью вращения.
ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ ЛИНИИ С ПОВЕРХНОСТЬЮ
24.1. Общие положения
При пересечении прямой линии с поверхностью может получиться одна или несколько точек встречи, которые называются точками входа и выхода. Точки встречи прямой линии с поверхностью определяют так:
1) через прямую проводят проецирующую плоскость;
2) строят линию пересечения этой плоскости с заданной поверхностью;
3) находят точки встречи заданной прямой с линией пересечения.
Найденные точки будут искомыми. Вспомогательные плоскости проводят с расчетом получить в сечении простые линии: прямые или окружности. Рассмотрим примеры.