1.2. Центральное проецирование

Наиболее общий случай проецирования осуществляется связкой лучей, исходящих из одной точки (рис. 1).

Аппарат центрального проецирования:

 – плоскость проекций; O   – центр проекций;

A[(A  )  (A  O) – проецируемая точка;

[OA) – проецирующий луч;

A^ = [OA)   – центральная проекция точки А на плоскость ;

l^ = (OAB)   – центральная проекция прямой l на плоскость .

Обратимости нет. Одна центральная проекция точки не позволяет судить о положении точки в пространстве. А^ = D^

Рис. 1

1.3. Параллельное проецирование

Частный случай центрального проецирования с центром проекций, находящимся в бесконечности (в несобственной точке O). Осуществляется связкой лучей заданного направления S (рис. 2).

Аппарат параллельного проецирования:

  плоскость проекций;

S – направление проецирования;

[O_A][O_B] S

A^ = [OA]  – параллельная проекция точки А на плоскость;

l^ = (AA^BB^)   –параллельная проекция прямой на плоскость .

Обратимости нет. Одна центральная проекция точки не позволяет судить о положении точки в пространстве. А = D

Рис. 2

План:

2.1. Инвариантные свойства параллельного проецирования

2.2. Прямоугольное (ортогональное) проецирование

2.1. Инвариантные свойства параллельного проецирования

Геометрические фигуры проецируются на плоскость проекций, в общем случае, с искажением. Характер искажений зависит от аппарата проецирования и положения проецируемой фигуры относительно плоскости проекций.

В частности, при параллельном проецировании нарушаются метрические характеристики геометрических фигур (искажаются линейные и угловые величины). Некоторые свойства фигуры сохраняются на ее проекции.

Сохраняющиеся в проекции свойства фигуры называются независимыми или ИНВАРИАНТНЫМИ. Эти инвариантные свойства часто называют сокращенно: инварианты.

Инварианты параллельного проецирования:

1. Проекция точки есть точка (рис. 1; рис. 2).

2. Проекция прямой есть прямая (рис. 1; рис. 2).

^

3. Проекция точки, принадлежащей прямой, принадлежит проекции.

этой прямой (рис. 1; рис. 2).

4. Проекция точки пересечения прямых определяется пересечением проекций этих прямых (рис. 3).

5. Проекции взаимно параллельных прямых взаимно параллельны (рис. 4).

Рис. 3

Рис. 4

6. Отношение длин отрезков взаимно параллельных прямых равно отношению длин их проекций (рис. 4).

СЛЕДСТВИЕ: если отрезок прямой делится точкой в каком-либо отношении, то проекция отрезка делится проекцией этой точки в том же отношении (рис. 5).

7. Плоская фигура, параллельная плоскости проекций, проецируется на эту плоскость в конгруэнтную фигуру (рис. 6).

Рис. 5

Рис. 6

2.2. Прямоугольное (ортогональное) проецирование

Частный случай параллельного проецирования, при котором направление проецирования перпендикулярно плоскости проекций (рис. 7).

В дальнейшем безоговорочно используется ортогональное проецирование.

В ортогональном проецировании сохраняются все свойства параллельного проецирования. Кроме того, для ортогонального проецирования справедлива теорема о проецировании прямого угла, и применим способ определений расстояния между точками (т.е. длины отрезка), называемый способом прямоугольного треугольника.

Рис. 7

БОЛЕЕ ПОДРОБНО...

Положение предмета в пространстве определяют четыре его точки, не лежащие в одной плоскости. Изображение пространственного предмета на чертеже сводится к построению проекций множества точек этого предмета на плоскости R (называемой плоскостью проекций) при помощи прямых линий (проецирующих лучей), проходящих через точки предмета и направленных к центру проецирования S.

Однако чтобы построить проекцию предмета, не обязательно строить все его точки. Достаточно найти лишь проекции характерных точек (вершин, ребер и т. п.), которые затем соединить соответствующей линией.

Проецирующие лучи в совокупности образуют проецирующую поверхность. Так, при проецировании прямой АВ проецирующей поверхностью является плоскость АВA^В^ (рис. 2).

Линия пересечения A^В^ проецирующей плоскости с плоскостью  представляет собой проекцию прямой AB, которая слагается из проекций отдельных ее точек.

Проекция подобна тени, отброшенной от предмета, освещенного лампой или солнцем.

При проецировании кривой линии в первом случае проецирующие лучи образуют коническую поверхность с вершиной в точке S, получается коническое (перспективное) изображение кривой. Во втором случае конус проецирующих лучей превращается в цилиндр, и коническое изображение переходит в цилиндрическое (параллельное). Проекция кривой линии рассматривается при этом как линия пересечения проецирующей поверхности с плоскостью .

В перспективе предмет изображается таким, каким он представляется глазу наблюдателя. Хрусталик глаза является центром проецирования. Каждому из нас знакомо следующее явление: если смотреть вдоль полотна железной дороги, нам кажется, что рельсы как бы сближаются между собой и на горизонте сходятся в одну точку (центр), а опоры, расположенные вдоль путей, уменьшаются по мере удаления.

Параллельное проецирование – частный случай перспективы. Суть параллельного проецирования заключается в следующем: если условно удалить центр проецирования в бесконечность, то проецирующие лучи можно считать параллельными.

Так, чтобы построить параллельную проекцию треугольника ABC (рис. 6), нужно задать:  – плоскость проекций (не параллельную и не совпадающую с направлением проецирующих лучей); S – направление проецирующих лучей (направление проецирования).

Далее, через характерные точки предмета проводят проецирующие лучи параллельно направлению проецирования, а затем находят точки A^, В^ и С^ с их пересечения с плоскостью . Эти точки – искомые параллельные проекции точек А, В и С заданного треугольника.

Проекция A^В^С^ – линия пересечения проецирующей призматической поверхности с плоскостью . Форма и размеры параллельной проекции какого-либо предмета при заданном направлении проецирования зависят только от выбора направления плоскости проекций и не зависят от ее удаления от предмета. Треугольник, расположенный в плоскости, параллельной плоскости проекций, проецируется равным заданному.

В зависимости от угла наклона проецирующего луча к плоскости проекций параллельное проецирование делится на два вида: прямоугольное и косоугольное.

ПРЯМОУГОЛЬНЫМ (или ортогональным) проецирование называется в том случае, когда направление проецирования выбрано перпендикулярным плоскости проекций. В другом случае оно называется КОСОУГОЛЬНЫМ.

При прямоугольном проецировании величина коэффициента искажения не может превышать единицы.

В косоугольных проекциях коэффициент искажения данного отрезка АВ может принимать любые числовые значения в зависимости от наклона отрезка и проецирующих лучей к плоскости проекций. В частности, если направление отрезка совпадает с направлением проецирования, то проекцией этого отрезка будет точка, а коэффициент искажения равен нулю.

В основу составления технических чертежей положен способ прямоугольных проекций. Предмет проецируют на взаимно перпендикулярные плоскости, при этом каждую его сторону изображают отдельно, затем плоскости проекций совмещают в одну.

На рис. 13 даны три плоскости проекций: H – горизонтальная, V –фронтальная и W – профильная, пересекающиеся под прямым углом по линиям x, у и z, которые называют осями проекций (осями координат). Точку О пересечения осей называют началом координат.

При проецировании изображаемый предмет располагают между глазом наблюдателя и соответствующей плоскостью проекций. На каждой плоскости проекций можно получить измерения только по двум осям, а по третьей оси, параллельно которой ведется проецирование, сливается в точку.

Изображение на фронтальной плоскости называют фронтальной проекцией, на горизонтальной плоскости – горизонтальной проекцией, на профильной – профильной проекцией.

В практике изображение обращенной к наблюдателю видимой части поверхности предмета называют видом. Каждый вид несет свою информацию. На видах должно быть показаны и невидимые линии (отверстие в детали, например).

План:

3.1. Аксонометрические проекции. Общие положения

3.2. Аксонометрическое проецирование

3.3. Коэффициенты искажения

3.4. Виды аксонометрических проекций

3.1. Аксонометрические проекции. Общие положения

Аксонометрическая проекция – один из способов изображения пространственных фигур на плоскости. Этот вид проекций обладает большой наглядностью и является обратимым изображением. Слово “аксонометрия” в переводе с греческого означает “измерение по осям”.

3.2. Аксонометрическое проецирование

Сущность способа аксонометрического проецирования показана на рис. 8: геометрическая фигура (предмет) вместе с осями прямоугольных (декартовых) координат, к которым она отнесена в пространстве, параллельно проецируется на картинную плоскость (аксонометрическую плоскость).

Рис. 8

На рис. 8 обозначено:

 – картинная (аксонометрическая) плоскость;

x y z – натуральные (декартовы) оси координат;

s – направление проецирования;

^o – угол проецирования;

x^o, y^o, z^o – проекции натуральных осей координат на картинную плоскость – аксонометрические оси;

А^o – аксонометрическая проекция точки А;

А’₁ – вторичная проекция (горизонтальная) точки А.

Для определения точки А^o на аксонометрической проекции (в аксонометрии) необходимо кроме аксонометрической проекции этой точки иметь ее вторичную проекцию, например, горизонтальную А₁, причем прямая А^oА’₁ должна быть параллельна аксонометрической оси z^o.

Аксонометрическая проекция точки А^o и ее вторичная проекция А’₁ (рис. 9) однозначно определяют положение точки в пространстве, что делает аксонометрическую проекцию обратимой. Если вторичная проекция не задана, ее можно будет задать произвольно, например, в точке А’₂, и тогда координаты x_А,y_А,z_А изменяются.

Рис. 9

Длина отрезков натуральной координатной ломаной ОА_xАА в общем случае не равна длине их проекций О^oА^o_xА’₁А^o на картинной плоскости  (рис. 8).