Задача 4
Для изучения оснащения предприятий отрасли основными фондами было проведено 10%-е выборочное обследование (по схеме механической выборки), в результате которого получены следующие данные о распределении предприятий по стоимости основных фондов:
Таблица 4.1
|
Стоимость основных фондов, млн. руб. |
Количество предприятий |
|
До 20 |
4 |
|
20–40 |
6 |
|
40–60 |
8 |
|
60–80 |
16 |
|
80–100 |
10 |
|
Свыше 100 |
6 |
|
Итого |
50 |
Определите:
а) среднюю стоимость основных фондов предприятия в выборке;
б) долю предприятий, средняя стоимость основных фондов которых больше 80 млн. руб., в выборке;
в) с вероятностью 0,997 границы, в которых может находиться средняя стоимость основных фондов предприятий отрасли;
г) с вероятностью 0,954 границы, в которых может находиться доля предприятий отрасли, средняя стоимость основных фондов которых больше 80 млн. руб.;
д) с вероятностью 0,954 границы, в которых может находиться количество предприятий отрасли, средняя стоимость основных фондов которых больше 80 млн. руб.
Сделайте выводы.
Решение.
1. Определим среднюю стоимость основных фондов в выборке. Для этого воспользуемся «способом моментов»:
Где:
— средняя величина;
—
условный момент первого порядка;
—
величина интервала (
);
— середина центрального интервала,
имеющего максимальную частоту (
).
Расчет промежуточных величин для определения условного момента первого порядка приведен в таблице 4.2.
Таблица 4.2
|
Стоимость основных фондов, млн. руб. |
Количество предприятий.
|
Середина интервала
|
Расчетные величины |
||
|
|
|
|
|||
|
До 20 |
4 |
10 |
-60 |
-6 |
-24 |
|
20–40 |
6 |
30 |
-40 |
-4 |
-24 |
|
40–60 |
8 |
50 |
-20 |
-2 |
-16 |
|
60–80 |
16 |
70 |
0 |
0 |
0 |
|
80–100 |
10 |
90 |
20 |
2 |
20 |
|
Свыше 100 |
6 |
110 |
40 |
4 |
24 |
|
Итого |
50 |
— |
— |
— |
-20 |
Условный момент первого порядка:
Средняя стоимость основных фондов:
2. Определим дисперсию выборочной совокупности. Для этого воспользуемся «способом моментов»:
Где:
—
дисперсия выборочной совокупности;
—
величина интервала;
—
условный момент первого порядка;
—
условный момент второго порядка.
Условный момент второго порядка:
Расчет промежуточных величин для определения условного момента второго порядка представлен в таблице 4.3.
Таблица 4.3
|
Стоимость основных фондов, млн. руб. |
Количество предприятий.
|
Середина интервала
|
Расчетные величины |
|||
|
|
|
|
|
|||
|
До 20 |
4 |
10 |
-60 |
-6 |
36 |
144 |
|
20–40 |
6 |
30 |
-40 |
-4 |
16 |
96 |
|
40–60 |
8 |
50 |
-20 |
-2 |
4 |
32 |
|
60–80 |
16 |
70 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
80–100 |
10 |
90 |
20 |
2 |
4 |
40 |
|
Свыше 100 |
6 |
110 |
40 |
4 |
16 |
96 |
|
Итого |
50 |
— |
— |
— |
— |
408 |
Дисперсия выборочной совокупности:
3. Определим среднее квадратическое отклонение:
4.Определим коэффициент вариации:
5. С вероятностью 0,997 определим границы, в которых будет находиться средняя стоимость основных предприятий отрасли.
Определим среднюю ошибку выборочной средней. Для этого воспользуемся формулой для бесповторного отбора.
Определим предельную ошибку выборочной средней. Так как доверительная вероятность Ф(t) = 0,997, то t = 3.
Запишем доверительный интервал для генеральной средней:
66-11,385 ≤
≤ 66+11,385 или 54,615 ≤
≤ 77,385
6. С вероятностью 0,954 определим границы, в которых может находиться доля предприятий отрасли, средняя стоимость основных фондов которых больше 80 млн. руб.
Определим количество предприятий у которых стоимость основных фондов превышает 80 млн.руб. в выборке. Оно равно 16 = (10+6).
Следовательно, выборочная доля
Определим среднюю ошибку выборочной
доли. Для этого воспользуемся формулой,
заменив в ней
на
.
Определим предельную ошибку выборочной доли. Так как доверительная вероятность Ф(t)=0,954, то t=2.
Запишем доверительный интервал для генеральной доли:
0,32-0,126 ≤
≤
0,32+0,126 или 0,194 ≤
≤ 0,446
7. С вероятностью 0,954 границы, в которых может находиться количество предприятий отрасли, средняя стоимость основных фондов которых больше 80 млн. руб.
Определим количество предприятий с помощью доверительного интервала.
Доверительный
интервал 0,194 ≤
≤ 0,446, определим минимальную и максимальную
границу интервала количества предприятий
отрасли:
50
* 0,194≤
≤
50 * 0,446 9,7 ≤
≤
22,3
Вывод: Средняя стоимость основных фондов в выборке составляет 66 млн.руб. Значение коэффициента вариации 42,9% свидетельствует о неоднородности изучаемой совокупности. С вероятностью 0,997 можно утверждать, что средняя стоимость основных фондов будет составлять от 54,615млн. руб. до 77,385 млн. руб. С вероятностью 0,954 можно утверждать, что доля стоимость основных фондов свыше 80 млн. руб., будет составлять от 19,4% до 44.6%. С вероятность 0,954 границы, в которой может находится количество предприятий отраслей, средняя стоимость основных фондов которых больше 80 млн. руб., будет составлять от 10-22 предприятий.