2.2. Проблемы разрешимости. Нормальные формы Логические отношения

Рассмотрим взаимоотношения двух высказываний P и Q:

1. Отношение следствия. Говорят, что из P следует Q, а если Q истинно всякий раз, когда истинно P; Q называют следствием P.

Пусть P и Q – сложные высказывания, составленные из элементарных высказываний A, B следующим образом Q=AB, P=AB.

Таблица 2.2.1

А	В	АВ=Q	AB=P
1	1	1	1
1	0	0	0
0	1	1	0
0	0	1	1

В этом примере из Q не следует P, так как в третьей строке таблицы 2.2.1 Q принимает значение 1, в то время как P=0. Но из P следует Q, так как Q принимает значение 1 в первой и четвертой строках таблицы, т. е. тогда, когда истинно P.

Между отношением следствия и импликацией существует тесная связь. Но следует помнить, что это не одно и то же. Импликация – сложное высказывание, составленное из двух данных, а следствие – отношение между двумя высказываниями.

Таблица 2.2.2

P	Q	PQ
1	1	1
1	0	0
0	1	1
0	0	1

Когда импликация выражает отношение следствия? Q есть следствие P лишь при условии, что логическая возможность, соответствующая второй строке истинностной таблице 2.2.2 импликации, не должна иметь место. А в этом случае истинностная таблица импликации содержит одни единицы. Заметим, что высказывания, связанные импликацией, при отсутствии смысловой связи могут звучать парадоксально. В самом деле, высказывание «Если я не приду на лекцию, то река впадает в Белое море» звучит парадоксально. Между посылкой и заключением в этих случаях не существует отношения следствия.

Упражнение 2.2.1

Между какими парами высказываний, приведенных ниже, существует отношение следствия?

S₁: Если прямая перпендикулярна радиусу окружности и проходит через точку пересечения радиуса с окружностью, то она – касательная к окружности.

S₂: Прямая есть касательная к окружности тогда и только тогда, когда она перпендикулярна к радиусу окружности и проходит через точку пересечения радиуса с окружностью.

S₃: Если прямая перпендикулярна к радиусу окружности, но не проходит через точку пересечения радиуса с окружностью, то она не является касательной к окружности.

S₄: Если прямая проходит через точку пересечения радиуса с окружностью, но не является касательной, то прямая не перпендикулярна к радиусу окружности.

Введем элементарные высказывания:

A: Прямая перпендикулярна к радиусу окружности.

B: Прямая проходит через точку пересечения радиуса с окружностью.

C: Прямая – касательная к окружности.

Запишем формулы приведенных высказываний.

S1=ABC S2=CAB

S3=A S4=B

Построим истинностные таблицы этих высказываний, получим:

Таблица 2.2.3

А	В	С	S1	S2	S3	S4	S2S1
1	1	1	1	1	1	1	1
1	1	0	0	0	1	0	1
1	0	1	1	0	0	1	1
1	0	0	1	1	1	1	1
0	1	1	1	0	1	1	1
0	1	0	1	1	1	1	1
0	0	1	1	0	1	1	1
0	0	0	1	1	1	1	1

Из высказывания S₂ следует S₁ и S₄, т. к. при истинностных значениях «1» в первой, четвертой, шестой и восьмой строках высказывания S₂ те же значения «1» имеем в указанных строках высказываний S₁ и S₄ и импликации S₂S₁, S₂S₄ становятся тождественно истинными высказываниями S₂S₁1, S₂S₄1.

Особое место занимает пара высказываний S₁ и S₄. Каждая из них следует из другого: из S₁ следует S₄ и из S_4, следует S₁. В этом случае говорят, что высказывания S₁ и S₄ эквивалентны.