- •Содержание
- •1. Множества 10
- •2. Математическая логика 39
- •3. Теория графов 96
- •Тема 1. Множества 168
- •Тема 2. Математическая логика 169
- •Тема 3. Теория графов 171
- •Тема 1.
- •Множества
- •1.1. Операции над множествами. Мощность множеств. Отображение множеств
- •Упражнение 1.1.1
- •Упражнение 1.1.2
- •1.2. Отношения на множествах
- •Будет ли пустое множество V каким-либо подмножеством некоторого множества?
- •Тема 2.
- •Математическая логика
- •2.1. Алгебра высказываний
- •Логические операции
- •Функции алгебры высказываний
- •2.2. Проблемы разрешимости. Нормальные формы Логические отношения
- •2. Отношение эквивалентности.
- •3. Несовместимость.
- •Проверка правильности рассуждений
- •Нормальные формы формул алгебры высказываний
- •Совершенные нормальные формы
- •Построение формулы алгебры высказываний по заданной логической функции
- •Моделирование алгебры высказываний с помощью релейно-контактных схем
- •2.3. Исчисление высказываний Символы, формулы, аксиомы исчисления высказываний. Правила вывода
- •Теорема дедукции
- •Проблемы непротиворечивости, полноты, независимости аксиом исчисления высказываний
- •2.4. Логика предикатов
- •Кванторы
- •Кванторы как обобщение логических связок.
- •Отрицание кванторных предикатов
- •Тема 3.
- •Теория графов
- •3.1. Графы
- •Степень вершины графа. Число ребер графа
- •Связность
- •Эйлеровы и гамильтоновы цепи и циклы. Теоремы Эйлера
- •Изоморфизм графов
- •Планарность. Плоские графы
- •Числа, характеризующие граф
- •Операции над графами. Объединение графов
- •Пересечение (произведение) графов
- •Прямое произведение графов
- •Матрицы для графов
- •Матрица инциденций
- •Матрицы достижимостей и контрадостижимостей
- •3.2. Деревья
- •Постановка задачи
- •Алгоритм Краскала
- •3.3. Экстремальные задачи на графах Задача о кротчайшем пути между двумя вершинами ориентированного графа и ее экономическая интерпретация
- •Алгоритм
- •Сети. Отношение порядка между вершинами ориентированного графа
- •Задача о пути максимальной длины между двумя вершинами ориентированного графа в сетевом планировании
- •Алгоритм
- •Сетевое планирование. Скорейшее время завершения проекта
- •Контрольное задание №1
- •Контрольное задание №2
- •Контрольное задание №3
- •Контрольное задание №4
- •Контрольное задание №5
- •Контрольное задание №6
- •Контрольное задание №7
- •Контрольное задание №8
- •Контрольное задание №9
- •Контрольное задание №10
- •Контрольное задание №11
- •Контрольное задание №12.
- •Контрольное задание №13.
- •Контрольное задание №14.
- •Контрольное задание №15
- •Список рекомендуемой литературы
- •Интернет-ресурсы
- •Тема 2. Математическая логика
- •Тема 3. Теория графов
Тема 2. Математическая логика
При изучении данной темы следует обратить внимание на то, что алгебра высказываний является частным примером булевой алгебры и провести аналогию между логическими и теоретико-множественными операциями.
Следует изучить основные логические операции (связки), понятие полной системы связок, понятие формулы алгебры, высказываний, основные равносильные формулы. Показать, как высказываниям в естественном и математическом языке могут быть поставлены в соответствие логические формулы. Рассмотреть основное понятие – понятие логической функции и уяснить связь между формулами и функциями алгебры высказываний. Изучить логические отношения между высказываниями (отношение следования, отношение эквивалентности и отношение несовместимости), а также способы проверки правильности рассуждений.
Рассмотреть, как проблема определения типа формулы (проблема разрешимости) может быть решена с помощью приведения формулы к нормальным формам (НФ) и определить конструктивно понятие совершенной нормальной формы формулы алгебры высказываний (СНФ).
Изучить построение формулы алгебры высказываний по заданной функции.
Выяснить возможность моделирования формул алгебры высказываний релейно-контактными схемами, а также какие задачи при этом могут быть решены.
Рассмотреть формальную аксиоматическую систему, адекватную алгебре высказываний – исчисление высказываний; основные проблемы формальной логической системы, как они решаются и как она может быть применена к конкретной научной области.
Далее изучается логика предикатов, которая включает в себя алгебру высказываний как составную часть. Рассматриваются операции над предикатами, кванторы общности и существования, применение кванторов в математических науках.
Изучив данную тему студент должен:
-
Знать:
-
все понятия, перечисленные выше, связанные с ними свойства, соотношения, теоремы;
-
рассматриваемые в теории проблемы и способы их решения.
-
Уметь:
-
применять язык, методы и средства математической логики в математических дисциплинах и в прикладных дисциплинах.
Планы практических занятий по теме 2
-
Логические операции. Формулы алгебры высказываний. Равносильность формул. Полные системы связок.
-
Логические функции. Связь с формулами алгебры высказываний. Существенные и фиктивные переменные.
-
Логические отношения. Проверка правильности рассуждений.
-
Нормальные формы алгебры высказываний. Установление типа формулы.
-
Совершенные нормальные формы. Построение формулы алгебры высказываний по заданной функции.
-
Алгебра высказываний и релейно-контактные схемы. Упрощение схем.
-
Исчисление высказываний: алфавит, формулы, аксиомы, правила вывода. Проблемы непротиворечивости, полноты и независимости системы аксиом.
-
Логика предикатов. Операции над предикатами. Кванторы.
Рекомендации по выполнению конкретных заданий, вопросы и тесты для самопроверки содержатся в учебно-практи-ческих пособиях:
Дискретная математика. – М. : МГУЭСИ, 2009. (Авторы Э.Л. Балюкевич, Л.Ф. Ковалёва, А.Н. Романников.) / Литература 1 /
Математическая логика и теория алгоритмов. – М. : МГУЭСИ, 2009. (Гриф УМО Минобрнауки РФ.) (Авторы Э.Л. Балюкевич, Л.Ф. Ковалёва.) / Литература 2 /