- •Содержание
- •1. Множества 10
- •2. Математическая логика 39
- •3. Теория графов 96
- •Тема 1. Множества 168
- •Тема 2. Математическая логика 169
- •Тема 3. Теория графов 171
- •Тема 1.
- •Множества
- •1.1. Операции над множествами. Мощность множеств. Отображение множеств
- •Упражнение 1.1.1
- •Упражнение 1.1.2
- •1.2. Отношения на множествах
- •Будет ли пустое множество V каким-либо подмножеством некоторого множества?
- •Тема 2.
- •Математическая логика
- •2.1. Алгебра высказываний
- •Логические операции
- •Функции алгебры высказываний
- •2.2. Проблемы разрешимости. Нормальные формы Логические отношения
- •2. Отношение эквивалентности.
- •3. Несовместимость.
- •Проверка правильности рассуждений
- •Нормальные формы формул алгебры высказываний
- •Совершенные нормальные формы
- •Построение формулы алгебры высказываний по заданной логической функции
- •Моделирование алгебры высказываний с помощью релейно-контактных схем
- •2.3. Исчисление высказываний Символы, формулы, аксиомы исчисления высказываний. Правила вывода
- •Теорема дедукции
- •Проблемы непротиворечивости, полноты, независимости аксиом исчисления высказываний
- •2.4. Логика предикатов
- •Кванторы
- •Кванторы как обобщение логических связок.
- •Отрицание кванторных предикатов
- •Тема 3.
- •Теория графов
- •3.1. Графы
- •Степень вершины графа. Число ребер графа
- •Связность
- •Эйлеровы и гамильтоновы цепи и циклы. Теоремы Эйлера
- •Изоморфизм графов
- •Планарность. Плоские графы
- •Числа, характеризующие граф
- •Операции над графами. Объединение графов
- •Пересечение (произведение) графов
- •Прямое произведение графов
- •Матрицы для графов
- •Матрица инциденций
- •Матрицы достижимостей и контрадостижимостей
- •3.2. Деревья
- •Постановка задачи
- •Алгоритм Краскала
- •3.3. Экстремальные задачи на графах Задача о кротчайшем пути между двумя вершинами ориентированного графа и ее экономическая интерпретация
- •Алгоритм
- •Сети. Отношение порядка между вершинами ориентированного графа
- •Задача о пути максимальной длины между двумя вершинами ориентированного графа в сетевом планировании
- •Алгоритм
- •Сетевое планирование. Скорейшее время завершения проекта
- •Контрольное задание №1
- •Контрольное задание №2
- •Контрольное задание №3
- •Контрольное задание №4
- •Контрольное задание №5
- •Контрольное задание №6
- •Контрольное задание №7
- •Контрольное задание №8
- •Контрольное задание №9
- •Контрольное задание №10
- •Контрольное задание №11
- •Контрольное задание №12.
- •Контрольное задание №13.
- •Контрольное задание №14.
- •Контрольное задание №15
- •Список рекомендуемой литературы
- •Интернет-ресурсы
- •Тема 2. Математическая логика
- •Тема 3. Теория графов
Тема 3. Теория графов
В этой теме рассматриваются основные понятия, связанные с конечными графами.
Даются определения ориентированных и неориентированных графов, способы их задания и представления. Рассматриваются теоремы, связанные с путями на графе, понятия связности, изоморфизма и планирности графов. Изучаются числа, характеризующие граф: цикломатическое, хроматическое число, числа внутренней и внешней устойчивости.
Далее излагаются операции над графами: объединение, пересечение, прямое произведение графов. Рассматриваются матрицы для графов и выполнение с помощью матриц смежности основных операций над графами.
Значительная часть темы рассматривает графы типа – дерево. Необходимо изучить свойства деревьев, теоремы о них. Рассматривается задача нахождения кратчайшего дерева и её экономическая интерпретация. Для отыскания кратчайшего дерева используется алгоритм Краскала.
Отдельный раздел посвящен некоторым экстремальным задачам на графах: нахождению путей минимальной и максимальной длины на графе. Дается экономическая интерпретация каждой из этих задач. Рассматривается алгоритм Форда для их решения. Для задачи нахождения пути максимальной длины на графе рассматривается её применение в сетевом планировании.
Изучив данную тему студент должен:
-
Знать:
-
определения основных понятий, теоремы и их доказательства;
-
рассматриваемые в теории задачи и методы их решения.
-
Уметь:
-
применять язык, методы и средства теории графов в дисциплинах прикладного характера.
Планы практических занятий по теме 3:
-
Способы представления графов.
-
Числа, характеризующие граф.
-
Операции над графами.
-
Деревья, их свойства.
-
Задачи нахождения кратчайшего дерева, её технико-экономическая интерпретация.
-
Задача нахождения пути максимальной длины на графе, её применении в сетевом планировании.
Рекомендации по выполнению конкретных заданий, вопросы и тесты для самопроверки содержатся в учебно-практическом пособии:
Дискретная математика. – М. : МГУЭСИ, 2009 (авторы Э.Л. Балюкевич, Л.Ф. Ковалёва, А.Н. Романников). / Литература 1 /
Список литературы
-
Балюкевич Э.Л., Ковалёва Л.Ф., Романников А.Н. Дискретная математика : учебно-практическое пособие. – М. : МГУЭСИ, 2009.
-
Балюкевич Э.Л., Ковалёва Л.Ф. Математическая логика и теория алгоритмов : учебно-практическое пособие. – М. : МГУЭСИ, 2009 (гриф УМО Минобрнауки РФ).
(Расширенные списки литературы с указанием интернет-ресурсов имеются в указанных выше учебно-практических пособиях.)