- •Содержание
- •1. Множества 10
- •2. Математическая логика 39
- •3. Теория графов 96
- •Тема 1. Множества 168
- •Тема 2. Математическая логика 169
- •Тема 3. Теория графов 171
- •Тема 1.
- •Множества
- •1.1. Операции над множествами. Мощность множеств. Отображение множеств
- •Упражнение 1.1.1
- •Упражнение 1.1.2
- •1.2. Отношения на множествах
- •Будет ли пустое множество V каким-либо подмножеством некоторого множества?
- •Тема 2.
- •Математическая логика
- •2.1. Алгебра высказываний
- •Логические операции
- •Функции алгебры высказываний
- •2.2. Проблемы разрешимости. Нормальные формы Логические отношения
- •2. Отношение эквивалентности.
- •3. Несовместимость.
- •Проверка правильности рассуждений
- •Нормальные формы формул алгебры высказываний
- •Совершенные нормальные формы
- •Построение формулы алгебры высказываний по заданной логической функции
- •Моделирование алгебры высказываний с помощью релейно-контактных схем
- •2.3. Исчисление высказываний Символы, формулы, аксиомы исчисления высказываний. Правила вывода
- •Теорема дедукции
- •Проблемы непротиворечивости, полноты, независимости аксиом исчисления высказываний
- •2.4. Логика предикатов
- •Кванторы
- •Кванторы как обобщение логических связок.
- •Отрицание кванторных предикатов
- •Тема 3.
- •Теория графов
- •3.1. Графы
- •Степень вершины графа. Число ребер графа
- •Связность
- •Эйлеровы и гамильтоновы цепи и циклы. Теоремы Эйлера
- •Изоморфизм графов
- •Планарность. Плоские графы
- •Числа, характеризующие граф
- •Операции над графами. Объединение графов
- •Пересечение (произведение) графов
- •Прямое произведение графов
- •Матрицы для графов
- •Матрица инциденций
- •Матрицы достижимостей и контрадостижимостей
- •3.2. Деревья
- •Постановка задачи
- •Алгоритм Краскала
- •3.3. Экстремальные задачи на графах Задача о кротчайшем пути между двумя вершинами ориентированного графа и ее экономическая интерпретация
- •Алгоритм
- •Сети. Отношение порядка между вершинами ориентированного графа
- •Задача о пути максимальной длины между двумя вершинами ориентированного графа в сетевом планировании
- •Алгоритм
- •Сетевое планирование. Скорейшее время завершения проекта
- •Контрольное задание №1
- •Контрольное задание №2
- •Контрольное задание №3
- •Контрольное задание №4
- •Контрольное задание №5
- •Контрольное задание №6
- •Контрольное задание №7
- •Контрольное задание №8
- •Контрольное задание №9
- •Контрольное задание №10
- •Контрольное задание №11
- •Контрольное задание №12.
- •Контрольное задание №13.
- •Контрольное задание №14.
- •Контрольное задание №15
- •Список рекомендуемой литературы
- •Интернет-ресурсы
- •Тема 2. Математическая логика
- •Тема 3. Теория графов
2.4. Логика предикатов
Для определения понятия предиката рассмотрим следующие примеры.
Примеры.
-
Пусть N – множество натуральных чисел, и буквой P обозначено свойство натурального числа быть простым. Если x представляет собой произвольный элемент из N, тогда выражение «натуральное число x является простым», которое можно записать в виде P(x), уже не является высказыванием, т.к. значение истинности данного утверждения зависит от x. По существу P(x) означает переменное (неопределенное) высказывание, которое становится определенным, когда x заменено определенным элементом из N. Например, P(3) = 1, P(4) = 0. Иначе говоря, P(x) представляет собой функцию, определенную на множестве натуральных чисел и принимающую только два значения: 0 и 1.
-
Пусть Z – множество целых чисел и P – свойство пары чисел иметь одинаковый знак. Тогда P(x,y) будет означать: «целые числа x и y имеют одинаковый знак». Это неопределенное высказывание становится определенным, если x и y заменить конкретными числами. Например, P(2,3)=1, P(-1,5)=0. Неопределенное высказывание P(x,y) представляет собой функцию двух переменных.
-
Пусть A и B – множество точек, C – множество прямых на евклидовой плоскости, а P(a,b,c) обозначает: «прямая c проходит через точки a и b». В этом примере мы имеем дело с функцией трех переменных, причем a и b принимают значения из множества точек, а c принимает значения из множества прямых евклидовой плоскости.
Определение 1. Предикатом называется функция, отображающая множество произвольной природы во множество {0,1}, или (ложно, истинно).
Обратимся теперь к определению предиката в общем случае.
Определение 2. Пусть N={N1,N2,N3,…,Nn} – конечный набор множеств. Всякая функция P(X1,…,Xn), ставящая в соответствие каждому набору из n элементов {a1,a2,…,an), где aiNi, какой-либо из элементов булевой алгебры {0,1} называется n-местным предикатом на N. Множество Ni называется предметной областью для переменной xi. Переменные x1,…,xn называются предметными переменными. Некоторые из множества Ni могут совпадать.
Если при отображении P образом набора (a1,a2,…an) является единица, то записывают.
P(a1,…,an)=1
и говорят, что значение предиката P для набора (a1,…,an) является истинным. Если же образом (a1,…,an) является нуль, то записывают
P(a1,…,an)=0
и говорят, что значение предиката P для набора (a1,…,an) является ложным.
n – местный предикат при n = 1 называется унарным, при n = 2 – бинарным и при n=3 тернарным. Для общности введем еще понятие 0-местного предиката, а именно, 0-местным предикатом называется любе истинное или ложное высказывание.
Поскольку предикаты принимают значения из (0,1), то над ними можно производить все логические операции, рассматриваемые нами в алгебре высказываний (-, , , , ), сохраняя за ними те же определения. Кроме операций алгебры высказываний, мы будем употреблять еще две новые операции, которые связаны с особенностями предикатов и выражают собой утверждения всеобщности и существования.