Постановка транспортной задачи и методы её решения

Урок 1

Тема: Математическая постановка транспортной задачи. Алгоритм решения транспортной задачи.

Тип урока: формирование навыков и умений.

Количество уроков: 1

Цели урока:

1. Различать этапы математического моделирования;

2. Уметь составить математическую модель и компьютерную модель;

3. Вызвать интерес к предмету информатика и использованию компьютерных технологий.

Оборудование и техническое обеспечение урока:

1. персональные компьютеры с ОС WindowsXP;

2. презентация «Транспортная задача»

3. приложение MSExcel ;

4. карточки с заданиями;

План урока:

1. Организационный момент.

2. Мотивация изучения нового материала.

3. Изучение нового материала.

4. Подведение итогов урока.

Продолжительность урока: 40 минут.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Ход урока:

1. Организационный момент.

2. Мотивация изучения нового материала.

3. Изучение нового материала.

Классическая транспортная задача формулируется следующим образом:

Имеется m пунктов отправления (производства) A₁, A₂, ... ,A_m, в которых расположены запасы некоторого однородного продукта (груза). Объём этого продукта в пункте A_i составляет a_i единиц. Кроме того, имеется n пунктов потребления B₁, B₂, ... ,B_n. Объём потребления в пункте B_j составляет b_j единиц. Предполагается, что из каждого пункта отправления возможна транспортировка продукта в любой пункт потребления. Известна также стоимость c_ij перевозки единицы продукта из пункта A_i в пункт B_j .

Требуется составить такой план перевозок, при котором все заявки пунктов потребления полностью выполнялись бы пунктами отправления, а общая стоимость перевозок была минимальной.

При такой постановке данную задачу называют транспортной задачей по критерию стоимости.

В общем виде исходные данные представлены в таблице 2.

Таблица 3

Транспортная задача называется закрытой, если суммарный объем отправляемых грузов равен суммарному объему потребности в этих грузах по пунктам назначения

Если такого равенства нет (потребности выше запасов или наоборот), задачу называют открытой.

В двух пунктах отправления А1 и А2 находится соответственно 150 и 90 т горючего. В пункты В1, В2, В3 требуется доставить соответственно 60, 70 и 110 т горючего. Стоимости перевозки тонны горючего из пункта А1 в пункты В1, В2 ,В3 составляют соответственно 6, 10 и 4 денежные единицы, а из пункта А2 – 12, 2 и 8 денежных единиц. Составить оптимальный план перевозок горючего так, чтобы общая сумма транспортных расходов была наименьшей.

Цель моделирования

Автоматизировать расчет объемов перевозок. Для этого необходимо составить таблицу-шаблон, позволяющую быстро рассчитать объемы перевозок и затраты на перевозку так, чтобы затраты на перевозку были минимальными.

Анализ объекта

В данной задаче рассматриваются объекты “затраты” и “объемы” перевозок, которые формируются на основе отдельных элементов, входящих в стоимость перевозок: тарифов на перевозку и объемов перевозок. Каждый объем перевозок задается объемом заказа и объемом запаса. Параметром плана перевозок являются затраты на перевозку.

Разработка модели

Объект	Параметры		Действия
	Неуправляемые (константы)	управляемые
Объем перевозки от поставщика к потребителю	Объем заказа. Объем запаса. Объем перевозки должен не превышать объем заказа и должен не превышать объема запаса	Величина объема перевозки	Определение объема перевозки. Подсчет поставляемой продукции поставщиком. Подсчет получаемой продукции потребителем.
Затраты на перевозку продукции	Тарифы на перевозку единицы продукции от поставщика к потребителю.	Величина объемов перевозок	Расчет затрат на перевозку продукции. Определение минимальных затрат на перевозку.

Математическая модель

Обозначим искомые объемы перевозок от поставщиков к потребителям следующим образом:

а11 – объем перевозки от поставщика А1 к потребителю В1;

а12 – объем перевозки от поставщика А1 к потребителю В2;

а13 – объем перевозки от поставщика А1 к потребителю В3;

а21 – объем перевозки от поставщика А2 к потребителю В1;

а22 – объем перевозки от поставщика А2 к потребителю В2;

а23 – объем перевозки от поставщика А2 к потребителю В3;

Составляем ограничения на запасы

для поставщика А1:

а11+а12+а13=150

для поставщика А2:

а21+а22+а23=90

Составляем ограничения на заказы

для потребителя В1:

а11+а21=60

для потребителя В2:

а12+а22=70

для потребителя В3:

а13+а23=110

Затраты на перевозку составят:

Z=6•а11+10•а12+4•а13+12•а21+2•а22+8•а23

Изменять значения а11, а12, а13, а21, а22, а23 так, чтобы удовлетворить всем ограничениям и получить минимальные затраты на перевозку продукции.

Компьютерная модель

Для моделирования будем использовать среду электронной таблицы.

Составляем таблицу исходных данных

рис. 1. Таблица с исходными данными

Вводим формулы в ячейки

В ячейку Е11 формулу =СУММ(B11:D11) . Объемы перевозимого горючего от поставщика А1.

В ячейку Е12 формулу =СУММ(B12:D12) . Объемы перевозимого горючего от поставщика А2.

В ячейку В13 формулу =СУММ(B11:В12) . Объемы перевозимого горючего к потребителю В1.

В ячейку С13 формулу =СУММ(С11:С12) . Объемы перевозимого горючего к потребителю В2.

В ячейку D13 формулу =СУММ(D11:D12) . Объемы перевозимого горючего к потребителю В3

В ячейку В14 формулу =СУММПРОИЗВ(B5:D6;B11:D12). Затраты на перевозимое горючее от поставщиков к потребителям. Именно эта величина должна минимальной при перевозке горючего. Сами искомые объемы перевозок находятся в ячейках В11:D12. Начальные значения объемов перевозок вводим равные нулю. При выполнении поиска решения в этих ячейках будут оптимальные значения объемов перевозок. После ввода формул и начальных значений таблица примет вид:

рис. 2. Таблица с введенными формулами

В ячейке В14 находится формула вычисления затрат на перевозку горючего. Затраты на перевозку должны быть минимальными. Эта ячейка в терминологии Excel будет являться целевой. Для осуществления поиска решения необходимо задать ограничения и условия поиска. Выполняем действия Сервис| Поиск решения. На экране появится диалоговое окно Поиска решения.

рис. 3. Диалоговое окно поиска решения

В этой форме необходимо установить целевую ячейку $B$14 минимальному значению. Изменяя ячейки $B$11:$D$12. Для того, чтобы ввести адреса ячеек, нужно щелкнуть на значке справа от поля ввода, и затем в таблице выделить область (группу ячеек). Для того, чтобы задать ограничения, необходимо щелкнуть на кнопке Добавить. После этого появится форма для ввода ограничений.

рис. 4. Диалоговое окно ввода ограничений

В этой форме также для ввода адреса ячейки щелкнуть на значке справа от поля ввода. Знак отношений выбирается из списка, щелкнув на треугольнике справа от поля ввода. Для нашей задачи потребуются следующие ограничения:

$Е$11=$Е$5

$Е$12=$Е$6

$В$13=$В$7

$С$13=$С$7

$D$13=$D$7

Так как при поиске решения может оказаться нецелое число, то добавим в ограничения следующие записи:

$B$11= целое

$C$11= целое

$D$11= целое

$B$12= целое

$C$12= целое

$D$12= целое

После ввода условий поиска и ограничений диалоговое окно примет вид:

рис. 5. Диалоговое окно с введенными ограничениями

Так как мы осуществляем поиск минимального значения, то можем получить отрицательные значения. Что является нежелательным в нашей задаче. Поэтому необходимо щелкнуть на кнопке Параметры (см. рис.5) и отметить пункт неотрицательные значения и щелкнуть ОК.

рис. 6. Окно задания параметров поиска решения

Затем щелкнуть на кнопке Выполнить. После этого на экране появятся результаты поиска. Щелкнуть на кнопке ОК.

рис. 7. Таблица с полученным решением

В ячейках B11:D12 будут находится значения, определяющие оптимальный план перевозок горючего. В нашей задаче затраты на перевозку составят 1020 условных денежных единиц.

Компьютерный эксперимент

План моделирования

Провести тестовый расчет компьютерной модели по данным, приведенным в таблице.

Провести расчет объемов перевозок со своими объемами заказов и объемами запасов продукции.

Изменить стоимости перевозок от поставщиков к потребителем и при исходных данных получить решение задачи.

Добавить поставщиков и дополнить модель расчетом по новым данным.

Добавить потребителей и дополнить модель расчетом по новым данным.

Анализ результатов моделирования

Полученная модель позволяет автоматически пересчитывать объемы перевозок в зависимости от объемов заказов, объемов запасов и тарифов на перевозку единицы продукции.

4. Подведение итогов урока.

Урок 2

Тема: Метод Северо-Западного угла. Метод минимальной стоимости.

Тип урока: формирование навыков и умений.

Количество уроков: 2

Цели урока: Дать понятие метод Северо-Западного угла, метод минимальной стоимости.

Оборудование: доска, компьютер

План урока:

1. Организационный момент.

2. Изучение нового материала.

3. Применение нового материала на практике.

4. Подведение итогов урока.

Продолжительность урока: 80 минут.

Тип урока: урок изучения нового материала и его закрепление.

Ход урока:

1. Организационный момент.

2. Изучение нового материала.

Распределительный метод

Распределительный метод представляет собой набор следующих действий: вначале строится исходный опорный план перевозок по одному из вышеизложенных правил, а затем последовательно производится его улучшение до получения оптимального. Для этого для каждой свободной клетки строят замкнутый цикл. Если в матрице перевозок содержится опорный план, то для каждой свободной клетки можно образовать и притом только один замкнутый цикл, содержащий эту свободную клетку и некоторую часть занятыx клеток.

Тарифы в клетках, находящихся в нечетных вершинах цикла, берем со знаком плюс, а в четных - со знаком минус. По каждому циклу подсчитываем алгебраическую сумму S ij тарифов.

Если замкнутый цикл имеет вид: (i, j) - >(k, j) - >(k, l) - >(t, l) - >... ->(u, v) - >(i, v), то S_ij =C_ij - C_kj + C_kl - C_tl +... + C_uv - C_iv, где (i,j) - свободная клетка.

Если алгебраическая сумма S_ij отрицательна, то путем изменения значений, стоящих в клетках замкнутого цикла, можно получить план с меньшим значением целевой функции. Критерием оптимальности при нахождении минимума функции служит неотрицательность алгебраических сумм S_ij. Если указанное требование не соблюдено, план не оптимален и подлежит улучшению.

Вычисления при решении транспортной задачи распределительным методом ведутся по следующему алгоритму:

Строят исходный опорный план по правилу «северо-западного угла», или по правилу «минимального элемента»; при этом должны оказаться занятыми r=m+n-1 клеток. Однако, если опорный план является вырожденным, то это условие не соблюдается. Для сохранения числа занятых клеток r=m+n-1 неизменным проделывают следующие шаги: в таблице отыскивают клетку, имеющую минимальный тариф и не образующую цикла с занятыми клетками, помещают в нее базисный нуль и считают ее в дальнейшем занятой. Процесс поиска таких клеток продолжается до тех пор, пока число занятых клеток не станет равным m+n-1;

Производят оценку первой свободной клетки путем построения замкнутого цикла и вычисления по этому циклу величины S_ij. Если S_ij <0, то переходят к следующему пункту алгоритма;

Перемещают по циклу количество груза, равное наименьшему из чисел, размещенных в четных клетках цикла (в клетках со знаком минус). Далее возвращаются к пункту с. Если S_ij >=0, то оценивают следующую свободную клетку, и т.д., пока не обнаружат клетку с отрицательной оценкой. Среди всех клеток с oценкой меньше нуля нужно найти клетку с наибольшим нарушением оптимальности, т.е. клетку с наименьшей оценкой. Если, наконец, оценки всех свободных клеток окажутся неотрицательными, то оптимальное решение найдено.