Лекция № 4

Построение плана ускорений позволяет определить линейные ускорения точек , и , а также угловое ускорение звена 2.

Ускорение точки кривошипа складывается из суммы нормальной и тангенциальной составляющих

(2.42)

где

Нормальные составляющие ускорений всегда направлены по радиусу к центру вращения, а тангенциальные составляющие перпендикулярны радиусу и направлены в сторону углового ускорения.

Ускорение точки В, принадлежащей звену 2, можно представить в виде векторной суммы ускорений переносного и относительного движений

(2.43)

где

Относительное ускорение точки также состоит из двух составляющих

(2.44)

где

С учетом приведенных выше формул и в случае окончательно получим (2.45)

Как и раньше, одной чертой подчеркнуты векторы, известные только по направлению, а полностью известные векторы подчеркнуты двумя чертами.

Построение плана ускорений начинаем с выбора масштабного коэффициента плана ускорений по любой известной величине – либо по , либо по . Пусть

(2.46)

где - длина отрезка, изображающего ускорение .

Тогда величина отрезка , изображающего известное ускорение , будет

Из произвольной точки полюса плана ускорений (рис. 2.9, в) откладываем отрезок в направлении к центру вращения звена 1 – точке . Так как и, следовательно, , отрезок изображает полное ускорение точки .

Из конца отрезка параллельно по направлению к центру относительного вращения звена 2 – точке откладываем отрезок и из его конца перпендикулярно проводим линию действия тангенциальной составляющей относительного ускорения . Затем из полюса плана параллельно проводим линию действия абсолютного ускорения точки . Точка b, полученная на пересечении этих линий, определяет концы отрезков и , изображающих соответствующие ускорения. Величины этих ускорений будут

и

Так как вектор ускорения направлен в сторону отрицательной полуоси , то знак ускорения будет отрицательным.

Соединив прямой точки и b плана ускорений, получим отрезок , изображающий полное относительное ускорение . Его величина будет

Величина углового ускорения звена 2 определяется из уравнения

(2.47)

Перенеся вектор ускорения в точку механизма и рассматривая движение точки В относительно точки , можно определить направление ускорения (на рис. 2.9, а ускорение направлено по часовой стрелке и поэтому является отрицательным).

Ускорение точки определяется из векторного уравнения

(2.48)

Величина относительного ускорения находится аналогично скорости - методом пропорционального деления отрезка , изображающего относительное ускорение

(2.49)

или на рис. 2.9, в

Полное ускорение точки определяется как

Планы скоростей и ускорений обладают следующими свойствами. Полюсы планов соответствуют неподвижным точкам механизмов (для кривошипно-ползунного механизма такой является точка ). Из полюсов планов выходят векторы абсолютных скоростей или ускорений, а векторы относительных скоростей и ускорений располагаются вне полюсов планов.

Механизм с гидроцилиндром

План положений механизма для заданного значения обобщенной координаты показан на рис. 2.10, а. По известным длинам звеньев и углу определяются угловые положения звеньев 1-2 и 3 и . На рисунке точка является центром тяжести звена 3, положение которого определяется углом и длиной , а точки и - центры тяжести соответственно цилиндра и поршня со штоком. План положений построен в соответствии с масштабным коэффициентом , определенным по длине какого-либо звена механизма.

План скоростей позволит определить угловые скорости звеньев 1-2 и 3, линейные скорости центров тяжести всех звеньев по заданным кинематической схеме механизма, построенной в масштабе (рис. 2.10, а) и закону движения начального звена, например

При составлении векторного уравнения для построения плана скоростей используется теорема сложения скоростей при сложном движении точки – абсолютная скорость точки, принадлежащей звену 2, равна геометрической сумме переносной и относительной скоростей этой точки

(2.50)

При определении переносной скорости точки предполагается, что относительное движение точки остановлено. Переносной скоростью точки звена 2 является движение со скоростью точки , принадлежащей звену 1 , а относительной скоростью является поступательное движение звена 2 относительно звена 1, т.е. и

С учетом равенства векторное уравнение скоростей будет иметь вид

(2.51)

Здесь и - векторы абсолютных скоростей точек , принадлежащих соответственно звеньям 3 и 1. Они известны лишь по направлению и подчеркнуты поэтому в уравнении одной чертой; - вектор скорости поршня относительно цилиндра, известный по величине и направлению, подчеркнут двумя чертами.

Данное векторное уравнение решается, поскольку оно имеет не более двух неизвестных – определению подлежат модули абсолютных скоростей точек и и .

Графическое решение уравнения следует начинать с построения отрезка , параллельного , изображающего скорость в соответствии с выбранным масштабным коэффициентом плана скоростей (рис. 2.10, б)

(2.52)

рис. 2.10, продолжение

Далее в соответствии с уравнением (2.51) следует провести в точке начала вектора (т. b₁) прямую, перпендикулярную звену , а в точке конца вектора (т. b₂) – прямую, перпендикулярную звену механизма. Пересечение двух прямых дает точку полюса плана скоростей и отрезки и , изображающие искомые абсолютные скорости и .

С учетом масштабного коэффициента неизвестные скорости определяются как

Угловые скорости звеньев и равны

(2.53)

Знаки угловых скоростей определяются параллельным переносом векторов скоростей из плана скоростей в соответствующие точки механизма. Для механизма по рис. (2.10, а) а

Линейная скорость центра тяжести цилиндра (звено 1) как точки, лежащей на звене , находится методом пропорционального деления отрезка , изображающего скорость :

.

Линейная скорость центра тяжести поршня, совершающего сложное движение, определяется, как и для точки , суммированием переносной и относительной скоростей

или

(2.54)

где - вектор скорости точки, принадлежащей цилиндру и лежащей на расстоянии от точки , определяется аналогично скорости точки центра тяжести цилиндра

Численные значения скоростей равны

Вектор линейной скорости центра тяжести третьего звена направлен перпендикулярно линии СS₃ в соответствии со знаком угловой скорости . Величина скорости определяется как .

План ускорений механизма с гидроцилиндром позволяет определить угловые ускорения звеньев 1-2 и 3, а также линейные ускорения центров тяжести всех звеньев.

При составлении уравнения ускорений следует учитывать, что абсолютное ускорение точки , принадлежащей второму звену, складывается из геометрической суммы трех ускорений – переносного вместе с первым звеном , относительного и кориолисова ускорения , которое появляется в том случае, если переносное движение оказывается вращательным:

(2.55)

где и - соответственно нормальное ускорение точки В в переносном вращательном движении, направленное по радиусу вращения точки к центру вращения , и касательное ускорение, направленное перпендикулярно радиусу вращения.

При этом

Направление кориолисова ускорения определяется поворотом в плоскости чертежа относительной скорости в направлении переносной угловой скорости на . Для положительной скорости направление будет

Если учесть, что

,

то окончательно уравнение плана ускорений будет иметь вид

(2.56)

Здесь, как и в уравнении плана скоростей, векторы, известные и по величине, и по направлению, подчеркнуты двумя чертами, а векторы, для которых известно лишь направление, подчеркнуты одной чертой.

Графическое решение уравнения состоит в определении неизвестных касательных составляющих линейных ускорений и

Масштабный коэффициент плана ускорений можно назначить, исходя из наибольшего известного значения ускорения. Пусть

(2.57)

где - отрезок, изображающий ускорение на плане ускорений.

Тогда отрезки, пропорциональные значениям остальных известных ускорений, определятся как:

Из произвольной точки полюса плана ускорений (рис. 2.10, в) необходимо провести луч, параллельный , в направлении к центру вращения и отложить на нем отрезок . Из конца отрезка (точка на плане) проводится прямая, перпендикулярная – это линия действия ускорения . Далее из полюса плана строится ускорение , из точки - ускорение с учетом масштабного коэффициента . Через точку проводится линия действия ускорения . Пересечение линий, перпендикулярных и , и есть графическое решение задачи об определении касательных составляющих ускорений и .

Таким образом,

Угловые ускорения звеньев 1-2 и 3 равны

(2.58)

Для определения знака углового ускорения следует перенести касательную составляющую ускорения из плана ускорений в точку механизма. Действие ускорения по часовой стрелке определяет его отрицательный знак (рис. 2.10, а). Аналогично определяется направление ускорения

Линейное ускорение центра тяжести звена 3 определяется уравнением

(2.59)

где

Ускорение центра тяжести цилиндра 1 определяется методом пропорционального деления отрезка , изображающего абсолютное ускорение точки , принадлежащей цилиндру

(2.60)

или

Ускорение центра тяжести поршня со штоком определяется уравнением

(2.61)

где - ускорение точки цилиндра 1, располагающейся в точке , и определяется аналогично ускорению

(2.62)

или

Для наглядности ускорения точек и показаны на рис. 2.10, г, который является фрагментом плана ускорений и изображен не в масштабе.

Действительные значения ускорений центров тяжести звеньев определяются уравнениями

Вопросы для самоконтроля.

1. С какой целью строят план ускорений?

2. Что должно быть известно для построения плана ускорений?

3. Как определяется масштабный коэффициент плана ускорений?

4. Как определить значение и направление угловых ускорений звеньев механизма?

5. Какими свойствами обладают планы скоростей и ускорений?

6. Какие особенности имеет построение плана скоростей механизма с гидроцилиндром второго класса?

7. Что является переносным движением поршня со штоком в механизме с гидроцилиндром второго класса?

8. Что является относительным движением поршня со штоком в гидрорычажном механизме второго класса?

9. Для каких звеньев и как определяют значение и направление кориолисова ускорения?

10. Как определить величину и направление угловых скоростей и ускорений звеньев гидрорычажного механизма второго класса?