3.8 Несобственные интегралы.

1. Интегралы с бесконечными пределами.

Оп-е. Пусть функция f(x) определена на промежутке [a;+) и интегрируема на любом отрезке [а;b]  [a;+). Тогда, если существует конечный предел , то его называют несобственным интегралом от функции f(x) на промежутке [a;+) и обозначают . Если предел существует, то говорят, что несобственный интеграл сходится. Если же предел не существует или = , то говорят, что несобственный интеграл расходится. Аналогично определяется несобственный . +. Если оба интеграла в правой части равенства сходятся, то сходится и интеграл . Если же хотя бы один интеграл в правой части расходится, тотоже расходится.

2. Несобственные интегралы от неограниченной функции.

Оп-е. Пусть функция f(x) определена на промежутке [а;b) интегрируема на отрезке [а;b-]  [а;b) . Предположим, что f(x) неограниченна в точке х=b. Тогда, если существует конечный предел , то его называют несобственным интегралом и обозначают . Если предел существует, то несобственный интеграл сходится. Если же предел не существует или =, то несобственный интеграл расходится. Аналогично, если функция неограниченна при х=а, то . Если функция f(x) неограниченна при x=с, а а<b<c, то +. Если оба интеграла в правой части существуют и конечны, то интеграл сходится, если же хотя бы один из этих интегралов не существует или =, то расходится.

4.1. Дифференциальные уравнения (основные понятия).

Уравнение вида F(x,y,y`,y``,…,y<sup>(n)</sup>)=0, связывающее аргумент x неизвестную функцию y(x) и ее производные, называется обыкновенным дифференциальным уравнением. Уравнение, которое не содержит производную неизвестной функции не является ДУ. Порядком ДУ называется порядок старшей производной, а степень старшей производной называется степенью ДУ. Решением ДУ F(x,y,y`,y``,…,y<sup>(n)</sup>)=0 называется функция y=(x), которая будучи подставлена в уравнение вместе со своими производными обращает его в тождество. График этой функции называется интегральной кривой. Процесс отыскания решений называется интегрированием ДУ. В общем случае для нахождения решения уравнения F(x,y,y`,y``,…,y⁽ⁿ⁾)=0 потребуется провести интегрирование n раз. Поэтому решение будет содержать n произвольных постоянных, т.е. иметь вид y=(x,c₁,c₂,…,c_n). Решение, заданное в неявном виде Ф(x,y, c₁,c₂,…,c_n)=0 называется интегралом ДУ.

4.2 Ду первого порядка. Задача и теорема Коши. Уравнение с разделяющимися переменными.

ДУ первого порядка – уравнение вида F(x,y,y`)=0 (y`=f(x,y), f(x,y)dy+(x,y)dy =0).

Задача Коши: найти решения ДУ y`=f(x,y), удовлетворяющее начальному условию y(x<sub>o</sub>)=y<sub>o</sub>, где x<sub>o,</sub> y<sub>o</sub> – данные числа. Геометрически: найти интегральную кривую, проходящую через точку (x<sub>o,</sub> y<sub>o</sub>). Теорема Коши: Если в уравнении y`=f(x,y) функция f(x,y) и ее частная производная f `_y(x,y) непрерывны в некоторой замкнутой области D и точка (x_o, y_o)  D,то существует единственное решение y=(x), удовлетворяющее начальному условию y(x_o)=y_o. Общим решение ДУ называется функция y=(x,с), удовлетворяющее следующим свойствам: 1. Функция y=(x,с) является решением ДУ при любом постоянном с. 2. Для любого начального условия y(x_o)=y_o существует единственное значение с=с_о, при котором решение y=(x,с_о) удовлетворяет заданному начальному условию.

Частным решением называется любое решение полученное из общего при конкретном значении с.

ДУ с разделяющимися переменными.

P(x)*Q(y)dy+M(x)*N(y)dx=0. Разделим обе части уравнения на произведение P(x)*N(y): . Получили уравнение с разделенными переменными. Интегрируя обе части этого уравнения получим общий интеграл уравнения .