6.5.Ряды Тейлора и Маклорена.
Пусть задана f(x) в окрестности точки x= x0
Предположим, что f(x) разлагается в ряд по степеням (x- x0): т.е. ряд имеет вид
f(x)= a0 + a1( x - x0)+ a2( x - x0)2+…+ an( x - x0)n +…
с радиусом сходимости R ,(| x - x0 |<R)
Этот ряд на интервале сходимости | x - x0 |<R можно дифференцировать бесконечно число раз:
f n(x)=n∙(n-1)∙ …∙ an+(n+1) ∙n∙…∙3∙2an+1∙( x - x0) +…
Положим в каждом равенстве x= x0 . Тогда последовательно получаем коэффициенты Тейлора:
a0=f(x0), a1=(f ’(x0))/1!, a2=(f ’’(x0))/2!,… an=( f n (x0))/n!
Итак, если функция f(x) разлагается в ряд по степеням ( x - x0), то этот ряд имеет вид :
f(x)= f(x0)+
f ’(x0)
( x - x0)+
(f ’(x0)
(
x
- x0)2)/2!+…+
=( f
n
(x0)
(
x
- x0)n)/n!
+…=
(
f
n
(x0)
(
x
- x0)n)/n!
Определение. Степенной ряд такого вида называется рядом Тейлора функции f(x) в точке x0 . Если x0 = 0 , то такой ряд называется рядом Маклорена.
Теорема. (дост. условие разложения в ряд Тейлора).
Если функция f(x) и ее производные любого порядка ограничены в окрестности точки x0: (| x - x0 |<R) одним и тем же числом M, то ее ряд Тейлора сходится к самой f(x ) для любого x из этой окрестности | x - x0 |<R . Если функция f(x) разложима в ряд Тейлора, то это разложение единственно.
Остаточный член ряда Тейлора.
Обозначим Tn (x) сумму первых членов ряда Тейлора:
Tn (x) = f(x0)+ f ’(x0) ( x - x0)+…+ =( f n (x0) ( x - x0)n)/n!
Остаточным членом ряда Тейлора называют разность:
Rn (x) = f(x)+ Tn (x)
Таким образом, имеет место формула Тейлора:
f(x)= f(x0)+ f ’(x0) ( x - x0)+…+ =( f n (x0) ( x - x0)n)/n!+ Rn (x)
Важно знать, как устроен остаток Rn (x)
Теорема. Если функция f(x) имеет производную (n+1)-го порядка f (n+1)(x) в окрестности точки x0 , то остаточный член имеет вид:
Rn (x) = ( x - x0)n+1)/(n+1)!∙ f (n+1)(ξ), где ξ -некоторая точка, лежащая между x и x0 .
Само по себе выражение для Rn (x) не дает возможности вычислять его величину, так как неизвестна точка ξ , в которой f (n+1)(x) вычисляется .
6.6.Разложение некоторых елементарных ф-ций в степенные ряды
Если ф-ция f(x) явл. суммой степенного ряда в каком-либо промежутке,то говорят,что f(x) в этом промежутке разлагается в степенной ряд.
Практически важное достаточное условие разложения ф-ции в ряд Тейлора выражается следующей теоремой: если производные любого порядка ф-ции f(x) ограничены в окрестности U(x0) точки x0 одним и тем же числом С,т.е. |f(n) (x)| ≤C (n=1,2,3,…),то ряд Тейлора этой ф-ции сходится к f(x) для любого xиз этой окрестности.
Если ф-ция f(x) разложима в ряд Тейлора,то это разложение единственное.
Приведем разложения в степенной ряд (ряд Маклорена)некоторых элементарных ф-ций:
ex=1+x/1!+x2/2!+…+xⁿ/n!+… (-∞<x<∞),
sinx=x/1!-x³/3!+x5/5! –x77! +...+(-1)ⁿ x2n+1/(2n+1)!+...
(-∞<x<+∞),
cosx=1 - x²/2!+x4/4! – x6/6!+...+(-1)ⁿ x2n/(2n)!+…
(-∞<x<+∞),
ln(1+x)=x – x²/2+x³/3 – x4/4+...+(- 1)n-1 xⁿ/n+...
(-1<x≤1),
(1+x)m=1+mx/1!+m(m-1)x²/2!+m(m-1)(m-2)x³/3!+...+
+m(m-1)...(m-n+1)xⁿ/n!
Последнее разложение имеет место при любом действительном числе m,если -1<x<1