1.5.2 Достаточное условие экстремума ф–ции двух переменных.

Пусть т.М₀(х₀;у₀) – критическая точка, т.е. f '_х(x₀;y₀) в этой точке =0 и f '_y(x₀;y₀)=0 и в некоторой окрестности точки М₀ и в самой точке М₀ ф–ция имеет вторые частные производные: f ^''_xx, f ^''_xy, f ^''_yy. Тогда если определитель

,

то ф–ция в точке М₀ имеет экстремум и если:

>0, то это минимум

<0, то это максимум

Если Δ<0, то экстремума нет.

Если Δ=0, то вопрос об экстремуме остаётся открытым: требуется дополнительное исследование.

\

1.5 Методы наименьших квадратов…

В прикладных задачах техники, биологии, экономики зависимость между переменными х и у часто выражают ввиде таблицы: (1)

X	x1	x2	…….	xn
Y	y1	y2	…….	yn

Чтобы облегчить анализ изучаемой зависимости следует табличную ф–цию (1) представить некоторой ф–лой y=f(x) таким образом, чтобы её значение возможно мало отличалось от экспериментальных. Ф–лы, полученные на основе обработки экспериментальных данных называются эмпирическими. В экономических исследованиях наиболее часто используются следующие ф–лы:

1) y=ax+b 2) y=ax²+bx+c 3) y=a/x +b 4) y=a lnx+b 5) y=ax^b 6) y=ab^x

Построение эмпирической ф–лы состоит из 2–х этапов:

1.Выбор вида эмпирической ф–лы. Он устанавливается из теоретических соображений или по хар–ру расположения точек (x_i;y_i) на плоскости.

2.Определение параметров выбранной ф–лы.

Метод наименьших квадратов

1) Выравнивание по прямой.

Пусть дана таблица (1). Построим на пл–ти точки (х_і;у_і). Предположим, что точки распологаются вдоль некоторой прямой у=ах+b. Переберем параметры а и b таким образом, чтобы прямая наиболее близко подходила к данным точкам.

Е₁=ах₁+b-y₁

Е₂=ах₂+b-y₂

……………………….

Е_n=ах_n+b-y_n Для определения параметров а и b используем метод наименьших квадратов. Суть метода в том, чтобы определить а и b так, чтобы сумма квадратов отклонений была наименьшей. Выясним при каких значениях а и b ф–ция Ф(а;b) принимает наименьшее значение

Найдём критические точки:

Это нормальная система метода наименьших квадратов.

Решив эту систему найдём координаты критических точек. Можно док–ть, что в найденной критической точке ф–ция Ф(а;b) имеет min.2) Выравнивание по параболе y=ax²+bx+c. По аналогии с линейной ф–цией составляем ф–цию Ф(a,b,c)? которая даёт сумму квадратов отклонений, и находим её наименьшее значение:

Найдя частные производные и приравняв их к нулю, после преобразований получим линейную систему трёх уравнений с тремя неизвестными a,b,c:Можно док–ть, что определитель этой системы не равен нулю, а следовательно, система имеет единственное решение.

2.1Первообразная ф–ция, неопределённый интеграл и их св–ва

Опр. Ф–ция F(x) называется первообразной для ф–ции f(x) на некотором промежутке Х, если для всех х из этого промежутка выполняется равенство: F'(x)=f(x)/

Задача об отыскании первообразной для данной ф–ции f(x) решается неоднозначно, т.к. если F(x) является первообразной для f(x), то ф–ция F(x)+C тоже является первообразной для f(x), т.к. (F(x)+C)'=F'(x)=f(x).

Т. Если F(x)–первообразная для f(x) на некотором промежутке Х, то всякая другая первообразная дляf(x) на этом промежутке может быть представлена ввиде F(x)+C.

Док–во: Пусть Ф(х)–другая первообразная.

Тогда (Ф(х)–F(x))'=Ф'(х)– F'(x)= f(x)– f(x)=0.

Итак мы получили, что производная этой ф–ции Ф(х)– F(x)=0, следовательно эта ф–ция равна постоянной, т.е. Ф(х)– F(x)=С

Ф(х)= F(x)+С ч.т.д.

Опр.Множество всех первообразных для ф–ции f(x) называется неопределённым интегралом от ф–ции f(x) и обозначается

f(x)–подинтегральная ф–ция

f(x)dx–подинтегральное выражение

x– переменная интегрирования

Отыскание неопределённого интеграла от подынтегральной ф–ции называется интегрированием этой ф–ции.