4.3Линейные ду первого порядка

Лин ДУ I порядка – это ур-ния вида:

А(х)y`+Bx(y)=C(x), где А не=0. Разделив это ур-ние на А(х) получим: у`+P(x)y=f(x) (1)

Будем искать решение в виде произведения 2-х ф-ций y=uv, где u=u(x), v=v(x), у`=u`v+uv` ,

в ур-ние (1) подставим у и у` и получим : u`v+v`u+P(x)uv=f(x),

u’v+u(v’+p(x)v)=f(x) (*)

Подберем фун-ию v т. о. Что бы выраж. В ()обратилось в 0 v’+p(x)v=0 => dv/dx=-p(x)v => dv=-p(x)vdx => получ ур-ние с раздел. перем. Разделим на v: dv/v=-p(x)dx

ln!v!=

Найд. ф-ию v подставим в ур-ние (*)

v’=f(x), u’=f(x),

u=

следов общее решение первонач ур-ния имеет вид y=uv =>

y= ()

Однор ду 1-го порядка

ДУ с разделяющимися переменными.

P(x)*Q(y)dy+M(x)*N(y)dx=0. Разделим обе части уравнения на произведение P(x)*N(y): . Получили уравнение с разделенными переменными. Интегрируя обе части этого уравнения получим общий интеграл уравнения .

4.4.Ду 2 порядка, допускающие понижение порядка

1.y``=f(x), y`=p,где p=p(x); y``=p`;

p`=f(x); dp/dx=f(x) отсюда p= ; y`=; dy/dx=; dy=)dx интегрируем,:

2. y``=f(x,y`), y`=p; p=p(x); y``=p`

p`=f(x,p(x)); интегрируем, p=

подставляем y`, все аналогично отсюда ответ:

y=

3. y``=f(y,y`), y`=p; p=p(y) – сложная ф-я y

y``=p`y`=p`p; p`p=f(y,p) или (dp/dy)*p(y)=f(y,p(y)).

P=

P заменяем на y` получим

x=

4.6 Однородные линейные ду второго порядка с постоянными коэффициентами.

Линейные ДУ второго порядка.

A(x)y'' + B(x)y' + K(x)y=ƒ(x) , где А(х) не≡ 0

A(x), B(x), K(x), ƒ(x) – непрерывны на некотором множестве, если ƒ(x)≡0, то урав-ние называется линейным однородным уравнением. Если ƒ(x)не≡0, то урав-ние называется неоднородным.

Задача Коши.

Найти решение ДУ у=φ(х) (1), удовлетв. следующим условиям:

y(x₀)=y₀

y'(x₀)=y'₀ , где x₀, y₀, y'₀ – данные числа

Если в уравнении (1) все слагаемые не А(х),то его можно привести к следующ. виду:

y″+ P(x)y' + q(x)y=Q(x) (2)

Свойства решений линейных однородных уравнений второго порядка.

Теорема 1.Если функции y₁=y₁(x), y₂₌ y₂(x) являются решениями линейного однор. уравн. второго порядка y″+ P(x)y' + q(x)y=0, то функция у=С₁·y₁(x) +С₂·y₂(x) является также решением уравнения (2).

Док-во:

y'=C₁y₁'+C₂y₂'

y″= C₁y₁″+ C₂y₂''

В левую часть урав-ния (2) вместо y,y',y″ подставим эти уравнения.

C₁y₁″+ C₂y₂''+P(x)· C₁y₁'+ P(x)· C₂y₂' + q(x)· C₁y₁ + q(x)· C₂y₂ =

=C₁(y₁″+ P(x)y₁' + q(x)y₁) + C₂ (y₂'' + P(x)y₂' + q(x)y₂) ≡0

Т.к. по условию теоремы ф-ции y₁(x) и y₂(x) явл-ся решением урав-ния (2), то каждая из скобок тождественно равна 0. Следовательно, у=С₁·y₁(x) +С₂·y₂(x) явл-ся решением уравнения (2)

Следствие: Если функция y=y₁(x) явл-ся решением урав-ния (2), то и функция у=С₁·y₁(x),

где С –постоянная, тоже явл-ся решением этого ур–ния.

Определение: 2 решения y₁=y₁(x) и y₂₌ y₂(x) уравнения (2) назыв-ся линейно независимыми если их отношение не≡const , в противоположном случае они назыв.

линейно зависим.

Теорема 2 (об общем решении). Если y₁(x), y₂(x) линейно независимые решения урав-ния (2), то функция у=С₁·y₁(x) +С₂·y₂(x) явл-ся общим решением уравнения (2), С₁,С₂ – произв. постоянные.

Линейные однородные ур-ния второго порядка с постоянными коэф-тами.

Это уравнения вида: y″+py'+qy=0, где p,q – действ.числа (1)

Уравнение к²+pk +q=0 называетя характеристическим уравнением. (2)