2.2.Основные св–ва неопределённого интеграла:

1)

Док–во:

2)

3)

4)

5) 2.3. Таблица основных интегралов:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

2.4. Интегрирование по частям и б)замена переменной в неопределенном интеграле. J – знак интеграла

А)Теорема. Пусть U(x), V(x) – дифференцируемые функции на некотором промежутке Х и на этом промежутке существует J VdU, тогда на нем существует J UdV и имеет место J UdV= UV – J VdU.

Док-во. Найдем дифференциал от произведения функции UdV.

d(VU)=(UV)’dx–(U’V+UV’)dx=VU’dx+UV’dx=VdU+UdV;d(UV)=VdU+UdV; UdV=D(UV) – VdU; проинтегрируем обе части этого рав-ва: J UdV=J d(UV) – JVdU;

J UdV= UV- J VdU

Большую часть интегралов, которую находят с помощью формулы интегрирования можно разделить на 3 группы:

I. J P(x) arcsinxdx

J P(x) arccosxdx

J P(x) arctgxdx

J P(x) arcctgxdx

за U берем обратную тригонометрическую функцию

II. J P(x)sinαxdx; J P(x) cosαxdx; J P(x) e^αxdx – за U берем P(x)

III. J e^αx*sinβxdx; Je^αxcosβxdx – за U- любую тригонометрическ. Функцию. В этом случае интегриров. по частям след. примен. дважды.

Б) Метод подстановки заключается в том, что переменную интегрирования х заменяют другой переменной t при помощи формулы t=Y(x), где Y(x) - дифференцир. фун-ция. Можно производить замену выражая не t через х, а х через t с помощью формулы x=ψ(t), ψ(t) - где дифференц. фун-ция.

2.5Интегрирование рациональных функций, б) некоторых иррациональных. J – знак интеграла

А)Интегрирование рациональной функции после выделения целой части сводится к интегрированию правильной рациональной дроби P(x)/Q(x), где P(x),Q(x) – многочлены, причем степень числителя ниже степени знаменателя. Решается данная задача с помощью метода неопределенных коэффициентов.

Если знаменатель разлаживается на множители Q(x)=(x-a)^α(x-b)^β...(x2+px+q)^γ...(x2+kx+r)^δ , то правильная дробь раскладывается на сумму простых дробей: P(x)/Q(x)=A₁/(x-a)+A₂/(x-a)²+...+A_α/(x-a)^α+B₁/(x-b)+B₂/(x-b)²+...+B_β/(x-b)^β+..., где α, β принадлежат N. Для вычисления неопределенных коэффициентов обе части равенства умножением его на знаменатель приводят к целому виду, а затем приравнивают коэффициенты при одинаковых степенях х (первый способ). Можно также определять эти коэффициенты, полагая в равенстве х равным числам, подобранным соответствующим образом (второй способ).

Б) Интегралы вида J R(x, ((ax+b)/(cx+d))^p/q,....,((ax+b)/(cx+d))^s/r) dx, где R – рациональная функция, p,q,s,r – целые числа. Этот интеграл находится с помощью подстановки t=корень m-ой степени из ((ax+b)/(cx+d)), m - наименьшее общее кратное чисел q,...,r.

2.6. Интегрирование тригонометрических функций. J – знак интеграла

Интегралы вида J sinaxcosbxdx, J cosaxcosbxdx, Jsinaxsinbxdx, где a≠b, находятся с помощью формул:

sinaxcosbxdx=1/2(sin(a-b)x+sin(a+b)x),cosaxcosbxdx=1/2(cos(a-b)x+cos(a+b)x), sinaxsinbxdx=1/2(cos(a-b)x-cos(a+b)x).

Интегралы вида J R(sinx,cosx)dx, где R - рациональная функция, приводятся к интегрированию рациональных функций с помощью подстановки tgx/2=t, так как J R(sinxcosx)dx=2J R(2t/(1+t²),(1-t²)/(1+t²)) dt/(1+t²). Данная подстановка, являющаяся универсальной для интегралов этого типа, приводит иной раз к сложным выкладкам. В таких случаях используются более простые подстановки. Если выполнено рав-во R(-sinx,cosx)= - R(sinx,cosx) или R(sinx, - cosx)= - R(sinx,cosx), то применяют подстановку cosx=t либо sinx=t. Если выполнено рав-во R(-sinx,-cosx)=R(sinx,cosx), то интеграл приводят интегралу от рациональной дроби с помощью подстановки tgx=t, т.к. в этом случае R(sinx,cosx)=R(tgx), dx=dt/(1+t²)