Глава 8

ВРЕМЯ

Какого рода операция соединения может быть ис­пользована для объединения интервалов времени? Здесь мы сразу же сталкиваемся с серьезной трудностью. Мы не можем обращаться с временными интервалами тем же самым способом, как мы можем обращаться с пространственными интервалами, или, более точно, ребрами твердых тел, представляющих пространственные интервалы. Не существует никаких твердых ребер времени, которые можно было бы соединить, чтобы образовать прямую линию.

Рис, 8-1.

Рассмотрим два таких интервала: длительность ка­кой-либо войны с первого выстрела и до последнего и длительность какой-либо грозы с первого удара грома до последнего. Как мы можем соединить две эти длительности? Мы имеем два отдельных события, каждое с некоторой длиной во времени, но не существует ника­кого способа, который мог бы связать их вместе. Конеч­но, если два события уже являются смежными, то мы можем признать этот факт, но мы не можем сдвигать во времени события вокруг нас, как мы можем перемещать ребра физических тел.

Самое лучшее, что мы можем сделать, – это предста­вить два временных интервала на концептуальной шка­ле. Предположим, что мы имеем одно событие a,которое совершается от временной точкиAдо точкиB,и второе событиеb, которое происходит между временными точ­камиB и C(рис. 8-1). Начальная точка событияbсовпа­даетсконечной точкой событияa,поэтому эти два со­бытия являются смежными во времени. Мы не приводим их в эту позицию – так они в действительности происхо­дят. Длина промежутка времени от точкиAдо точкиCмо­жет теперь рассматриваться как результат объединения

127

aиb. Но это объединение понимается не в физиче­ском смысле, а в концептуальном, то есть посредством способа, с помощью которого мы рассматриваем эту си­туацию. Концептуальная операция, символически обо­значаемая посредством «», позволяет нам сформулиро­вать следующее правило аддитивности для измерения временной длительностиT:

.

Иными словами, если мы имеем два события, одно из которых начинается как раз тогда, когда другое кон­чается, тогда длительность совокупного события будет равна арифметической сумме длительностей двух собы­тий. Это правило не так сильно, как правило аддитивно­сти для пространственных длин, потому что мы можем применить его только к тем событиям, которые яв­ляются смежными во времени, но не к любым парам событий.

Позже, когда мы разработаем схему для измерения времени, состоящую из трех правил, мы будем в состоя­нии измерять совокупную длительность несмежных собы­тий. Теперь же мы только ищем операцию соединения, которая бы служила основой для аддитивного правила. Такую операцию мы находим в появлении событий, смежных во времени.

Чтобы завершить нашу схему, мы нуждаемся еще в двух правилах: правиле эквивалентности и правиле, ко­торое определяет единицу измерения. Оба эти правила обычно основываются на некотором типе периодического процесса: колебании маятника, вращении земли и т.п. Любые часы представляют инструмент для создания пе­риодического процесса. В некоторых часах это осуществ­ляется с помощью маятника, в других – путем балансирного колеса. Солнечные часы измеряют время по­средством периодического движения солнца в небе. Тысячи лет ученые основывали эту единицу времени на продолжительности дня, то есть на периодическом вра­щении земли. Но поскольку степень земного спина несколько меняется, в 1956 году было достигнуто международное соглашение основывать единицу времени на периодическом вращении земли вокруг солнца в один определенный год. Соответственно этому секунда

128

определялась как 1/315569259747 часть 1900 года^13[5]. В 1964 году отказались от этого, поскольку можно было достичь еще большей точности, основывая секунду на периоде колебания атома цезия.

Это понятие «периодичности», столь существенное для определения единицы времени, должно быть пол­ностью осознано до того, как мы перейдем к рассмотре­нию правил эквивалентности и единицы измерения, ко­торые могут быть основаны на нем.

Прежде всего мы должны ясно различать два смысла «периодичности», один – слабый и другой – сильный. В слабом смысле процесс считается периодическим про­сто, если он повторяется снова и снова. Биение пульса периодично. Периодичны также колебания маятника. Но в таком слабом смысле периодичным будет также выход мистера Смита из дома. Это повторяется снова и снова, сотни раз в течение жизни мистера Смита. Ясно, что периодичность в слабом смысле повторяется. Иногда периодичность означает повторяемость полного цикла различных фаз в том же циклическом порядке. Маят­ник, например, совершает колебание от самой нижней точки до самой верхней точки вправо, потом проходит нижнюю точку и достигает самой верхней точки влево и, наконец, снова возвращается, к самой нижней точке. Потом этот полный цикл повторяется снова. Повторять­ся может не только одно событие, но и целая последова­тельность событий. Это, однако, вовсе не необходимо, чтобы назвать процесс периодическим. Достаточно, если одна фаза процесса продолжает повторяться. Такой процесс является периодическим в слабом смысле.

Часто, когда кто-то говорит о процессе как периоди­ческом, то он имеет в виду значительно более сильный смысл: дополнительно к слабой периодичности такой процесс характеризуется тем, что интервалы между по­следовательными появлениями некоторой фазы являются равными. Относительно выходов мистера Смита из дома это условие, очевидно, не выполняется. Иногда он может оставаться дома несколько часов. В другие дни он мо­жет покидать дом несколько раз в течение часа. В про­тивоположность этому движения баланса колеса хорошо

129

 

сконструированных часов являются периодическими в сильном смысле. Ясно, что существует огромная разница между двумя типами периодичности.

Какой тип периодичности мы должны взять в каче­стве основы для измерения времени? Сначала мы скло­няемся к ответу, что, очевидно, мы должны выбрать про­цесс, который является периодическим в сильном смысле. Мы не можем опираться при измерении времени на вы­ходы мистера Смита из дома, потому что они являются слишком нерегулярными. Мы не можем даже использо­вать здесь пульс, хотя он значительно ближе подходит к периодическим процессам в сильном смысле, чем вы­ходы мистера Смита, но все же и удары пульса не пред­ставляют достаточно регулярного процесса. Если кто-либо быстро бежит или кого-то сильно лихорадит, то его пульс бьется чаще, чем обычно. Мы нуждаемся в периодическом процессе, который был бы как можно более регулярным.

Но в этом рассуждении есть нечто ошибочное. Мы не можем знать, что процесс является периодическим в силь­ном смысле, если мы уже не имеем метода для определе­ния равных интервалов времени! Именно такой метод мы и хотим найти с помощью наших правил. Как мы можем избежать здесь порочного круга? Мы можем сде­лать это, только отказавшись от требования периодично­сти в сильном смысле. Мы вынуждены отказаться от него, потому что мы не имеем еще основы для его при­нятия. Мы находимся в позиции наивного, физика, подходящего к проблеме измерения времени, не располагая даже преимуществами донаучных понятий равных ин­тервалов времени. Не имея никакой основы для измере­ния времени, он пытается наблюдать периодические про­цессы в природе, которые в состоянии дать такую основу. Поскольку он не располагает никаким способом изме­рения интервалов времени, то он не имеет никакого спо­соба для обнаружения того, является или не является определенный процесс периодическим в сильном смысле.

Именно это мы и должны сделать. Сначала мы нахо­дим процесс, который был бы периодическим в слабом смысле (это может быть также и периодический процесс в сильном смысле, но мы пока еще не можем знать это­го). Затем мы берем в качестве нашей операции соеди­нения два интервала времени, являющиеся последовательными

130

 

в том смысле, что один начинается точно тогда, когда кончается другой. Мы утверждаем, согласно нашему правилу аддитивности, что длина полного интер­вала будет равна арифметической сумме длин двух от­дельных интервалов. Впоследствии мы можем применить это правило для выбора периодического процесса.

Чтобы закончить нашу схему, мы должны найти пра­вила для эквивалентности и единицы измерения. Про­должительность любого периода выбранного процесса может служить в качестве нашей единицы времени. На рис. 8-2 эти периоды изображены в виде длин a, b, c, d, ...между временными точкамиA, B, C, D, E, ...Мы говорим, что каждый из этих отрезков имеет длину в одну единицу. Кто-то может возразить: «Но периодb взят гораздо более долгим, чем периодa». На это можно ответить так: «Мы не знаем, что вы понимаете под «бо­лее долгим». Мы пытаемся установить правила для из­мерения времени так, чтобы мы были в состоянии при­дать точное значение термину «более долгий».

Рис. 8-2.

Теперь, после того как мы определили нашу единицу времени (она представляет просто длительность каждого периода выбранного, процесса), наше правило аддитив­ности дает нам основу для измерения длительности вре­мени. Это правило говорит нам, что интервал времени от точки Aдо точкиCравен 2, от точкиAдо точкиD – 3 и т.п. Мы можем теперь измерить любой интервал времени, даже если мы основываем нашу процедуру на слабом периодическом процессе. Мы просто отсчитываем число периодов, встречающихся в событии, которое мы хотим измерить. Это число и будет длительностью события. Правило для эквивалентности является здесь очевидным. Оно говорит, что два интервала (которые

131

 

могут быть значительно отделены друг от друга во вре­мени) будут равны, если оба содержат одинаковое число элементарных периодов периодического процесса. Этим завершается наша схема из трех правил. Мы имеем пра­вило эквивалентности, правило аддитивности и правило для единицы измерения. На основе этой схемы мы имеем метод для измерения времени.

Здесь могут возникнуть возражения. Может ли такая схема действительно основываться на любом слабом пе­риодическом процессе? Например, может ли она осно­вываться на выходах мистера Смита из дома? Как ни удивительно, мы должны ответить «да», хотя, как я объясню несколько позже, законы физики будут значи­тельно проще, если мы выберем некоторые другие про­цессы. Важно понять теперь, что, как только мы устано­вим схему для измерения времени, даже если она осно­вывается на таком нерегулярном процессе, как выходы мистера Смита из дома, мы получим средство для опре­деления того, эквивалентен ли один периодический про­цесс другому.

Предположим, что мы приняли в качестве нашей основы для измерения времени периодический процесс P.Мы можем теперь сравнитьPс другим слабо перио­дическим процессомP',чтобы установить, когда они являются «эквивалентными». Допустим, например, чтоP,выбранный нами периодический процесс, представ­ляет колебания какого-либо короткого маятника. Мы хотим сравнить его сP',колебаниями более длинного маятника. С точки зрения того факта, что периоды ко­лебания этих двух маятников не равны, как мы можем сравнить вышеотмеченные периодические процессы? Мы делаем это путем отсчета числа колебаний обоих маят­ников за более длительный интервал времени. Мы мо­жем обнаружить, что десять колебаний короткого маятника совпадает с шестью колебаниями длинного. Это встречается всякий раз, когда мы повторяем испы­тание. Однако мы не в состоянии иметь дело с дробными частями периодов колебаний, поэтому наше сравнение должно быть осуществлено в целых числах колебаний. Мы можем заметить, однако, что совпадение здесь не является вполне точным. После десяти колебаний корот­кого маятника длинный маятник начинает совершать уже седьмое колебание. Поэтому мы исправляем наше

132

 

сравнение, взяв более длинный интервал времени, такой, как сотня колебаний короткого маятника.

Всякий раз, когда испытание повторяется, мы обна­руживаем, что в течение этого времени длинный маятник совершит шестьдесят два колебания. Таким путем мы можем уточнить наше сравнение настолько, насколько мы пожелаем. Если мы обнаружим, что некоторое число периодов процесса Pвсегда соответствует определенному числу периодов процессаP',тогда мы говорим, что эти два периодических процесса эквивалентны.

Существование очень обширных классов периодиче­ских процессов, эквивалентных друг другу в указанном смысле, является фактом природы. Это не есть нечто такое, что мы можем знать априори. Мы обнаруживаем существование обширных классов благодаря исследова­нию реального мира. Мы не можем сказать, что эти экви­валентные периодические процессы относятся к процес­сам сильного типа, но мы можем сравнить любые два из них и установить, что они являются эквивалентными. Все колеблющиеся маятники принадлежат к этому клас­су, так же как движения балансирных колес в настенных и карманных часах, кажущееся движение солнца по небу и т.п. Мы находим в природе огромный класс про­цессов, любые два из которых оказываются эквивалент­ными, когда мы сравниваем их по способу, объясненному в предыдущем параграфе. Насколько мы знаем, суще­ствует только одинобширный класс такого рода.

Что произойдет, если мы решимся основать нашу шкалу времени на периодических процессах, которые не принадлежат к этому обширному классу эквивалент­ных процессов, например таких, как биение пульса? Результаты будут в какой-то мере странными, но мы хо­тим подчеркнуть, что выбор биений пульса в качестве основы для измерения времени не приведет нас к какому-либо логическому противоречию. Измерение времени на такой основе ни в каком смысле не может считаться ложным.

Вообразим, что мы живем в самую раннюю фазу раз­вития понятия измерения. Мы не располагаем никакими инструментами для измерения времени, такими, как ча­сы, поэтому мы не имеем никакого способа для определе­ния того, как могут изменяться биения нашего пульса при различных физиологических обстоятельствах. Мы

133

 

стремимся вначале разработать операциональные пра­вила для измерения времени, а затем решаем исполь­зовать биения моего пульса в качестве основы для из­мерения.

Как только мы сравним биения моего пульса с дру­гими периодическими процессами в природе, мы обна­ружим, что все виды процессов, которые мы можем мыс­лить единообразными, не оказываются таковыми. Напри­мер, мы обнаруживаем, что солнце проходит свой путь по небу за столько-то биений пульса, когда я чувствую себя хорошо. Но когда меня лихорадит, то оно затрачи­вает на тот же путь значительно больше времени. Мы находим это странным, но не имеется ничего логически противоречивого в нашем описании целого мира на та­кой основе. Мы не можем сказать, что выбор колебаний маятника в качестве единицы измерения времени являет­ся «правильным», а биений моего пульса – «ложным» выбором. Ни о какой правильности или ложности здесь говорить нельзя, потому что в обоих случаях не суще­ствует никакого логического противоречия. Это просто выбор между простым и сложным описанием мира.

Если мы основываем время на моем пульсе, то мы должны говорить, что все виды периодических процессов в природе имеют временные интервалы, которые изме­няются в зависимости от того, что я делаю или как я себя чувствую. Если я быстро бегу некоторое время, за­тем останавливаюсь и измеряю процессы природы посредством моего пульса, то я замечаю, что в то время, когда я бегу, и несколько позже течение вещей в мире замедляется. Через несколько минут они возвращаются в нормальное состояние. Вы должны помнить, что мы предполагаем, что находимся в эпоху, когда никакие знания о законах природы не были известны. Мы не рас­полагаем никакими учебниками физики, которые инфор­мировали бы нас, что тот или иной процесс является единообразным. В нашей примитивной системе физики вращение земли, колебание маятника и т.п. выступают как весьма нерегулярные процессы. Они имеют одну скорость, когда я чувствую себя хорошо, и другую, ко­гда меня лихорадит.

Мы, таким образом, можем сделать здесь настоящий выбор. Но это не выбор между правильной и ошибочной измерительной процедурой, а выбор, основанный на простоте.

134

 

Мы найдем, что если мы выберем в качестве на­шей основы времени колебания маятника, то возникаю­щая при этом система физических законов будет гораздо проще, чем когда мы выберем биения моего пульса. Эти законы значительно усложнятся, если в качестве основы для измерения времени мы используем биения моего пульса, но будет, конечно, гораздо хуже, если для этого мы выберем выходы мистера Смита из дому, если мистер Смит не похож на Иммануила Канта, который, говорят, выходил из дому каждое утро точно в то же самое вре­мя, так что окрестные жители могли сверять свои часы по его появлению на улице. Но никакие обычные пере­движения смертных не могут быть подходящей основой для измерения времени.

Под «подходящей» я, конечно, имею в виду такую основу, которая приводит к простым законам. Когда мы основываем наше измерение времени на колебаниях маятника, то мы находим, что вся вселенная функциони­рует очень правильно и может быть описана с помощью весьма простых законов. Читатель, когда он изучал фи­зику, мог не считать эти законы простыми, но они яв­ляются простыми в относительном смысле. Законы были бы гораздо более сложными, если бы мы в качестве еди­ницы времени приняли биения пульса. Физики постоянно выражают удивление по поводу простоты новых законов. Когда Эйнштейн открыл свой общий принцип относи­тельности, он выразил изумление по поводу того факта, что такой сравнительно простой принцип управляет все­ми явлениями, к которым он применим. Такой простоты не было бы, если бы мы основывали свою систему изме­рения времени на процессе, который не принадлежит к очень обширному классу взаимно эквивалентных про­цессов.

Биения моего пульса, напротив, принадлежат к чрез­вычайно небольшому классу эквивалентных процессов. Только другие члены моего собственного тела, вероятно физиологически, связаны с ударами сердца. Пульс на моем левом запястье эквивалентен пульсу на запястье правой руки. Но, помимо процессов, связанных с дея­тельностью сердца, трудно обнаружить в природе какой-либо процесс, который был бы эквивалентен моему пуль­су. Мы имеем здесь, следовательно, крайне малочислен­ный класс эквивалентных процессов по сравнению

135

 

с таким очень обширным классом, который включает движения планет, колебания маятников и т.п. По­этому в качестве основы для измерения времени же­лательно выбрать процесс именно из этого обширного класса.

При этом не имеет большого значения, какой процесс из этого класса мы выберем, так как мы еще не забо­тимся о большой точности измерения. Как только мы сделаем выбор, мы можем сказать, что процесс, который мы выбрали, является периодическим в строгом смысле слова. Это, конечно, дело определения. Но теперь дру­гие процессы, которые эквивалентны ему, являются стро­го периодическими не тривиальным образом, не просто по определению. Мы делаем эмпирические испытания и пу­тем наблюдений находим, что эти процессы являются строго периодическими в том смысле, что они обнаружи­вают большое единообразие в своих временных интерва­лах. В результате этого мы оказываемся в состоянии описывать процессы природы относительно простым спо­собом. Этот пункт настолько важен, что я подчеркиваю его многократным повторением. Наш выбор процесса в качестве основы для измерения времени не является ни правильным, ни ложным. Логически возможен любой выбор. И любой выбор приводит к непротиворечивой совокупности законов природы. Но если мы основываем наше измерение времени на таких процессах, как коле­бание маятника, мы придем к гораздо более простой физике, чем когда мы используем некоторые другие процессы.

Исторически наше физиологическое чувство времени, наше интуитивное ощущение повторяемости явлений, несомненно, играло роль при выборе тех процессов, ко­торые мы принимаем в качестве основы для измерения времени. Кажущийся восход и заход солнца происходит регулярно, поэтому солнечные часы стали удобным спо­собом измерения времени, гораздо более удобным, чем, например, движения облаков. Подобным же образом на ранних этапах цивилизации было найдено удобным ос­новывать часы на времени падения песка, протекания воды или других процессов, которые приблизительно эквивалентны движению солнца. Но основной пункт остается неизменным: выбор делается в терминах удоб­ства и простоты.

136