Глава 6

ИЗМЕРЕНИЕ КОЛИЧЕСТВЕННЫХ ПОНЯТИИ

Если факты природы должны быть описаны в количе­ственных понятиях, понятиях с численными значениями, мы должны иметь процедуры для получения этих значе­ний. Самой простой такой процедурой, как мы видели в предыдущей главе, является счет. В этой главе мы ис­следуем более тонкую процедуру измерения. Счет дает

109

 

только такие значения, которые выражаются целыми числами. Измерение идет дальше этого. Оно дает не только такие значения, которые могут быть выражены рациональными числами (целые числа и дроби), но так­же значения, которые могут быть выражены иррацио­нальными числами. Это делает возможным применение мощных математических средств, таких, как анализ. В результате этого в огромной степени увеличивается эффективность научного метода.

Первое важное обстоятельство, которое мы должны ясно понять, состоит в том, что для определения значе­ния таких терминов, как «длина» и «температура», мы должны иметь правила для процесса измерения. Эти правила представляют не что иное, как правила, кото­рые показывают нам, как приписывается некоторое чи­сло определенному телу или процессу, так чтобы мы могли сказать, что это число представляет значение ве­личины для рассматриваемого тела. В качестве примера того, как это может быть сделано, возьмем понятие тем­пературы вместе со схемой из пяти правил. Правила бу­дут представлять процедуру, посредством которой мо­жет быть измерена температура.

Первые два правила этой схемы мы обсуждали в пре­дыдущей главе как правила для определения сравни­тельных понятий. Однако теперь мы должны рассматри­вать их как правила для определения количественного понятия, которое мы будем называть величиной M.

Правило 1, для величины M, характеризует эмпири­ческое отношениеE.Правило устанавливает, что, если отношениеE_M имеет место между двумя предметамиa иb,эти два предмета будут иметь равные значения ве­личиныM.В символической форме:

Если ,то .

Правило 2 характеризует эмпирическое отношение l_m. Это правило говорит, что, если отношениеl_m имеет ме­сто междуaиb, значение величиныMбудет меньше дляa, чем дляb.В символической форме:

Если , то .

Прежде чем перейти к другим трем правилам нашей схемы, мы посмотрим, как два предыдущих правила при­менялись к донаучному, сравнительному понятию температуры,

110

которое впоследствии было заменено с помощью количественной процедуры. Вообразим себе, что мы жи­вем в эпоху до изобретения термометра. Как мы решаем, что два предмета являются одинаково теплыми или же один из них теплее, чем другой? Мы прикасаемся к ка­ждому предмету рукой. Если мы чувствуем, что ни один из них не теплее, чем другой (отношение E),тогда мы скажем, что они одинаково теплые. Еслиaощущается как менее теплый, чемb(отношениеL), тогда мы ска­жем, чтоaявляется менее теплым, чемb.Но все это субъективные методы, методы очень неточные, относи­тельно которых трудно достичь согласия между различ­ными наблюдателями. Одно лицо может ощущать, чтоaтеплее, чемb;другой может прикоснуться к тем же самым двум предметам и считать, что истинно обратное. Воспоминания о тепловых ощущениях настолько смут­ны, что человеку становится невозможным решить, был ли предмет теплее в одно время или же три часа назад. По этим причинам субъективные методы установления отношений «одинаково теплое» (E) и «менее теплое» (L) дают очень мало пользы в эмпирических поисках общих законов.

Необходим объективный метод для определения тем­пературы – метод, более точный, чем наши тепловые ощущения, и с результатами которого обычно будут со­гласны самые разные люди.

Термометр обеспечивает именно такой метод. Пред­положим, что мы хотим определить изменение тем­пературы воды в сосуде. Для этого мы опускаем ртут­ный термометр в воду. Когда вода нагревается, ртуть расширяется и поднимается в трубке; когда она охла­ждается, ртуть сжимается и опускается вниз. Если на трубке имеется отметка, указывающая высоту ртути, то легко заметить, находится ли ртуть выше или ниже этой отметки, так что два наблюдателя, вероятно, не будут спорить об этом. Если я сегодня замечаю, что жидкость находится выше отметки, то не представляет никакой трудности вспомнить, что вчера она была ниже этой от­метки. С полным доверием я могу заявить, что сегодня термометр регистрирует более высокую температуру, чем вчера. Легко видеть, как с помощью этого инструмента могут быть определены отношения E_Tиl_t для величиныT(температуры). Мы просто приводим термометр в

111

 

контакт с телом a,ожидая, пока жидкость в его трубке не будет изменять свою высоту, а затем замечаем уровень этой жидкости. Таким же образом мы применяем термо­метр к телуb.ОтношениеEопределяется посредством подъема жидкости в трубке термометра до той же самой отметки. ОтношениеLустанавливается между теламиa иbв том случае, если жидкость в трубке поднимается до более низкой отметки, когда термометр применяется кa,чем когда он применяется кb.

Первые два правила для определения температуры (T) символически могут быть выражены следующим об­разом:

Правило 1: Если E_T(a, b),тоT(a)=T(b).

Правило 2: Если L_T(a, b),тоT (a) < T (b).

Заметим, что для установления двух отношений EиLвовсе нет необходимости иметь шкалу значений, на­несенных на трубке. Если, однако, мы намереваемся использовать термометр, чтобы приписать численные значенияT,мы, очевидно, нуждаемся более чем в двух правилах.

Остальные три правила нашей схемы восполняют не­обходимость в дополнительных условиях. Правило 3 го­ворит нам, когда приписывается выбранное численное значение, обычно нуль, величине, которую мы пытаемся измерить. Это делается путем спецификации состояния, обычно легко узнаваемого и иногда легко воспроизводи­мого, которое указывает нам, как приписать выбранное численное значение телу, когда оно находится в ука­занном состоянии. Например, в метрической шкале тем­пературы (Цельсия) правило 3 приписывает нулевое значение температуре замерзания воды. Позже мы доба­вим некоторые уточнения к условиям, при которых это правило является адекватным. Теперь же мы примем его, как оно установлено.

Правило 4, обычно называемое правилом единицы измерения, приписывает второе выбранное значение ве­личины телу, характеризуя другое легко узнаваемое и воспроизводимое его состояние. Это второе значение обычно представляет 1, но оно может быть любым чис­лом, отличным от числа, определяемого с помощью пра­вила 3. Па метрической шкале температуры оно равно

112

 

100. Это число приписывается температуре кипящей поды. Как только это второе значение становится опре­деленным, отказывается возможным найти основу для определения единицы измерения температуры. Мы по­мещаем термометр в замерзающую воду, отмечаем вы­соту ртути и делаем отметку нуль. Затем мы опускаем термометр в кипящую воду, замечаем высоту ртути в трубке и делаем отметку 100. Мы еще не имеем шкалы, но мы имеем основание говорить о единице измерения. Если ртуть поднимается от нулевой отметки к отметке 100, то мы можем сказать, что температура повысилась на 100 градусов. Если мы припишем более высокой от­метке число 10 вместо 100, тогда мы можем сказать, что температура поднялась на 10 градусов.

Последний шаг будет состоять в том, чтобы опреде­лить точную форму шкалы. Это достигается посредством правила 5, наиболее важного из всех пяти правил. Оно характеризует эмпирические условия ED_M,при которых мы будем говорить, что две разностиDзначений вели­чиныMявляются рапными. Заметьте, что мы не говорим о двух значениях, а о двухразностяхмежду двумя значениями. Мы хотим охарактеризовать эмпирические условия, при которых мы будем говорить, что разность между любыми двумя значениями величинa и bяв­ляется той же самой, как и разность между двумя дру­гими значениями, скажем,cиd.Это пятое правило имеет следующую символическую форму:

Если ED_M(a, b, c, d), то M (а) - M (b) = M (c) - M (d).

Правило говорит нам, что если существуют некоторые эмпирические условия для четырех значений величин, в символической формулировке представленных через ED_M, то мы можем сказать, что разность между пер­выми двумя значениями является той же самой, что и разность между двумя другими значениями.

В случае температуры эмпирические условия отно­сятся к объему испытуемого вещества, используемого в термометре, в нашем примере ртути. Мы должны скон­струировать термометр таким образом, что когда раз­ность между двумя любыми объемами ртути, aиb, равна разности между двумя другими объемами,c и d, то шкала будет показывать одинаковую разность тем­ператур.

113

 

Если термометр имеет стоградусную шкалу, процеду­ра для выполнения условий правила 5 проста. Ртуть по­мещается в баллончике, находящемся на конце очень тонкой трубки. Тонкость трубки не существенна, но она имеет большое практическое значение, потому что позво­ляет легко наблюдать очень малые изменения объема ртути. Стеклянная трубка должна быть изготовлена очень тщательно, так чтобы ее внутренний диаметр был всюду одинаков. Вследствие этого одинаковые увели­чения объема ртути можно наблюдать как равные расстоя­ния между отметками на трубке. Если мы обозначим расстояние между отметками, когда термометр нахо­дится в соприкосновении с телом aи теломb,какd (a, b),тогда правило 5 символически может быть выра­жено так:

Если d (a, b) = d (c, d), то T (a) - T (b) = T (c) - T (d).

Теперь мы применим правила 3 и 4. Для этого термо­метр сначала опускают в замерзающую воду и исполь­зуют 0 в качестве отметки уровня ртути в трубке. Затем помещают термометр в кипящую воду и уровень ртути обозначают 100. На основе правила 5 трубка может быть разделена на сто равных интервалов между 0 и 100. Эти интервалы могут быть продолжены ниже нуля, пока мы не достигнем точки замерзания ртути. Они могут быть продолжены и выше 100 вплоть до точки кипения и испарения ртути. Если два физика построят свои термометры таким способом и в соответствии с процеду­рами, охарактеризованными пятью правилами, они при­дут к одинаковым результатам, когда будут измерять температуру того же самого тела. Это совпадение ре­зультатов мы характеризуем утверждением, что два фи­зика используют одну и ту же температурную шкалу. Пять правил определяют единую шкалу для величины, к которой они применяются.

Как физики принимают решение о точном типе шкалы, используемой для измерения величины? Их ре­шения частично основываются на соглашениях, частично на заключениях, связанных с выбором крайних точек по правилам 3 и 4. Единица измерения длины, метр, теперь определяется как длина, равная 1656763,83 длины вол­ны в вакууме некоторого типа излучения атома

114

 

криптона 86. Единица массы или веса, килограмм, основывается на прототипе килограмма, хранящегося в Па­риже. По отношению к температуре, измеряемой по сто­градусной шкале, нуль и 100, как точки замерзания и кипения воды, принимаются вследствие их удобства. В шкале Фаренгейта и так называемой абсолютной шка­ле Кельвина вместо крайних точек, нуля и 100, выби­раются другие состояния веществ. Однако, в сущности, все три шкалы основываются на тех же самых пяти правилах процедуры измерения и, таким образом, могут рассматриваться в принципе как шкалы той же самой формы. Термометр для измерения температуры по Фа­ренгейту строится точно таким же способом, как и тер­мометр для измерения температуры по стоградусной шкале; они отличаются только способом калибровки. По этой причине весьма просто переводить значения с одной шкалы на другую.

Если два физика принимают совершенно различные процедуры для своих пяти правил, скажем, один из них соотносит температуру с расширением объема ртути, а другой – с расширением железного стержня или же с нагреванием электрическим током некоторого прибора, тогда их шкалы будут совершенно отличными по форме. Две шкалы можно, конечно, согласовать, поскольку это касается правил 3 и 4. Если каждый физик выберет тем­пературы замерзания и кипения воды в качестве двух точек, определяющих его единицу измерения, то, разу­меется, они будут согласны, когда будут измерять температуру замерзания или кипения воды. Но когда они будут измерять соответствующими термометрами темпе­ратуру данной чашки теплой воды, тогда, вероятно, они получат разные результаты, и здесь может не быть про­стого способа перевода одной шкалы в другую.

Законы, основывающиеся на двух различных видах шкал, не будут иметь ту же самую форму. Одна шкала может привести к законам, которые могут быть выра­жены очень простыми уравнениями. Другая шкала мо­жет привести к законам, требующим очень сложных урав­нений. Это обстоятельство делает крайне важным выбор пятого правила процедуры в отличие от более про­извольного характера правил 3 и 4. Ученый выбирает эти процедуры с целью упрощения, насколько это воз­можно, основных законов физики.

115

 

В случае температуры абсолютная шкала (Кельви­на) приводит к максимальному упрощению законов тер­модинамики. Стоградусная шкала и шкала Фаренгейта могут рассматриваться как варианты абсолютной шкалы, отличающиеся только калибровкой и легко переводимые в абсолютную шкалу. В прежних термометрах в каче­стве вещества, измеряющего температуру, использова­лись такие жидкости, как спирт и ртуть, так же как и газы, которые находились под постоянным давлением, так что изменение температуры вызывало изменение и объема. Оказалось, что независимо от используемого ве­щества могут быть установлены приблизительно одина­ковые формы шкал; но когда были изготовлены более точные инструменты, были замечены небольшие разли­чия. Я здесь не имею в виду просто то, что вещества рас­ширяются в разной степени, когда они нагреваются, но скорее то, что сама форма шкалы чем-то отличается в зависимости от того, используется ли для измерения температуры ртуть или водород. Возможно, ученые вы­бирают абсолютную шкалу как шкалу, приводящую к наипростейшим законам. Удивительным является тот факт, что эта форма шкалы не определяется природой конкретного вещества, используемого для измерения температуры. Абсолютная шкала ближе к водородной или другой газовой шкале, чем к ртутной, но она не со­всем похожа на газовую шкалу. Иногда о ней говорят как о шкале, основанной на «идеальном газе», но это только манера речи.

На практике ученые, конечно, продолжают пользо­ваться термометрами, содержащими ртуть или другие жидкости, которые имеют шкалы, весьма близкие к аб­солютной шкале. Затем они переводят температуры, основанные на этих шкалах, в абсолютную шкалу по­средством некоторых поправочных формул. Абсолютная шкала позволяет формулировать законы термодинамики наиболее простым возможным способом, потому что ее значения выражают скорее величины энергии, чем изме­нения объема различных веществ. Законы, в которые входит температура, будут гораздо более сложными, если будет использована любая другая форма шкалы.

Важно понять, что мы не можем в действительности сказать, что мы подразумеваем под любой количествен­ной величиной, пока не сформулируем правила для ее

116

 

измерения. Может показаться, что сначала наука разра­батывает количественные понятия, а затем ищет способы их измерения. Но количественные понятия в действи­тельности развиваются из процесса измерения. До тех пор пока не были изобретены термометры, понятию тем­пературы не могло быть придано точного значения. Эйнштейн подчеркивает этот пункт в дискуссиях, веду­щихся по теории относительности. Он касается преиму­щественно измерения пространства и времени. Он обращает внимание на то, что мы не можем точно знать, что мы имеем в виду под такими понятиями, как «одинако­вая продолжительность», «равенство расстояний (в про­странстве)», «одновременность двух событий в разных местах» и т.п., пока мы не определим средства и пра­вила, посредством которых такие понятия измеряются.

В главе 5 мы видели, что существуют как конвенцио­нальные, так и неконвенциональные аспекты процедур, принимаемых для правил 1 и 2. Сходная ситуация имеет место и в отношении правил 3, 4 и 5. Существует неко­торая свобода выбора в принятии процедур для этих правил; именно в такой мере эти правила являются де­лом соглашения (convention). Но они не являются цели­ком конвенциональными. Для того чтобы решить, какого рода соглашения можно принять, не приходя в противоречие с фактами природы, необходимы фактические знания. Чтобы избежать логических противоречий, необ­ходимо принимать различные логические структуры.

Например, мы решаем принять точку замерзания во­ды как нулевую точку нашей температурной шкалы, по­тому что мы знаем, что объем ртути в нашем термометре будет всегда одинаковым всякий раз, когда мы опускаем колбочку инструмента в замерзающую воду. Если мы обнаружим, что ртуть поднимается на одну высоту, ко­гда мы используем замерзающую воду, полученную из Франции, и на другую высоту, когда используется вода, полученная из Дании, или же эта высота изменяется с количеством замерзающей воды, тогда замерзание во­ды не будет подходящим выбором для применения тре­тьего правила.

Подобный же эмпирический элемент ясно входит в наш выбор кипящей воды в качестве отметки 100. То, что температура любой кипящей воды одинакова, есть факт природы, а не дело соглашения. (Мы предполагаем,

117

что мы уже имеем правила 1 и 2, так что мы имеем спо­соб измерения равенства температур.) Но здесь следует внести уточнение. Температура кипящей воды одинакова в той же самой местности, но на горной вершине, где давление воздуха меньше, вода закипает при несколько меньшей температуре, чем у подножия горы. Чтобы ис­пользовать точку кипения воды в соответствии с требо­ваниями четвертого правила, мы должны либо сделать добавление, что кипящая вода должна находиться на определенной высоте, либо внести поправочный фактор, когда она не находится на этой высоте. Строго говоря, даже на установленной высоте мы должны удостове­риться с помощью барометра, что мы имеем определен­ное давление воздуха, или же мы должны внести соот­ветствующую поправку. Эти поправки зависят от эмпи­рических фактов. Они не являются конвенциональными, произвольно вводимыми факторами.

При установлении эмпирического критерия для при­менения правила 5, которое определяет форму нашей шкалы, мы стремимся найти форму, которая бы давала наипростейшие возможные законы. Здесь снова в выбор правила входит неконвенциональный аспект, потому что факты природы определяют законы, которые мы стре­мимся упростить. И наконец, употребление чисел в каче­стве значений нашей шкалы предполагает структуру ло­гических отношений, которая не является конвенциональ­ной, поскольку мы не можем отказаться от нее, ибо иначе мы попадем в ловушку логических противоречий.