5. Магнитостатическое поле в вакууме.

1. Сила Лоренца как обобщение силы Кулона на случай движущегося (в области действия м.п.) заряда, вектор индукции магнитного поля B. Сила Ампера, действующая на проводник с током

Сила Лоренца

На заряд, движущийся в магнитном поле, действует сила, которую мы будем называть магнитной. Эта сила определяется зарядом q, скоростью его движения v и магнитной индукцией В в той точке, где находится заряд в рассматриваемый момент времени. Простейшее предположение заключается в том, что модуль силы F пропорционален каждой из трех величин q, v и В. Кроме того, можно ожидать, что F зависит от взаимной ориентации векторов v и В. Направление вектора F должно определяться направлениями векторов v и В.

Для того чтобы «сконструировать» вектор F из скаляра q и векторов v и В, перемножим v и В векторно и умножим затем получившийся результат на скаляр q. В итоге получим выражение

Опытным путем установлено, что сила F, действующая на заряд, движущийся в магнитном поле, определяется формулой

где k — коэффициент пропорциональности, зависящий от выбора единиц фигурирующих в формуле величин.

Необходимо иметь в виду, что рассуждения, приведшие нас к выражению (43.1), нельзя рассматривать как вывод формулы (43.2). Эти рассуждения не носят доказательной силы. Их назначение состоит в том, чтобы облегчить запоминание формулы (43.2). Справедливость же этой формулы может быть установлена только экспериментально.

Отметим, что соотношение (43.2) можно рассматривать как определение магнитной индукции В.

Единица магнитной индукции В — тесла — определяется так, чтобы коэффициент пропорциональности k в формуле (43.2) был равен единице.

Следовательно, в СИ эта формула имеет вид

Модуль магнитной силы равен

где а — угол между векторами v и В. Из (43.4) вытекает, что заряд, движущийся вдоль линий магнитного поля, не испытывает действия магнитной силы.

Направлена магнитная сила перпендикулярно к плоскости, в которой лежат векторы v и В. Если заряд q положителен, направление силы совпадает с направлением вектора. В случае отрицательного q направления векторов F ипротивоположны (рис. 43.1).

Рис. 43.1.

Рис. 43.2.

Поскольку магнитная сила всегда направлена перпендикулярно к скорости заряженной частицы, она работы над частицей не совершает. Следовательно, действуя на заряженную частицу постоянным магнитным полем, изменить ее энергию нельзя.

Если имеются одновременно электрическое и магнитное поля, сила, действующая на заряженную частицу, равна

Это выражение было получено X. Лоренцем путем обобщения экспериментальных данных и носит название силы Лоренца или лоренцевой силы.

Пусть заряд q движется со скоростью v параллельно прямому бесконечному проводу, по которому течет ток силы I (рис. 43.2). Согласно формулам (42.5) и (43.4) на заряд действует в этом случае магнитная сила, равная по модулю

где b — расстояние от заряда до провода. В случае положительного заряда сила направлена к проводу, если направления тока и движения заряда одинаковы, и от провода, если направления тока и движения заряда противоположны (см. рис. 43.2). В случае отрицательного заряда направление силы изменяется на обратное.

Рассмотрим два одноименных точечных зарядадвижущихся вдоль параллельных прямых с одинаковой скоростью v, много меньшей с’ (рис. 43.3). При   электрическое поле практически не отличается от поля неподвижных зарядов. Потому величину электрической силыдействующей на заряды, можно считать равной

Согласно формулам (41.5) и (43.3) для магнитной силы(действующей на заряды, получается выражение

(радиус-вектор r перпендикулярен к v).

Найдем отношение магнитной силы к электрической. Из (43.7) и (43.8) следует, что

(см. (39.15)) Мы получили соотношение (43.9) в предположении, что. Однако это соотношение оказывается справедливым при любых V.

Рис. 43.3.

Направления силпротивоположны. Рис. 43.3 выполнен для одноименных и притомположительных зарядов. Для одноименных отрицательных зарядов направления сил останутся теми же, а направления векторовизменятся на противоположные. Для разноименных зарядов направления электрических и магнитных сил будут противоположны показанным на рисунке.

Из (43.9) следует, что магнитная сила слабее кулоновской на множитель, равный квадрату отношения скорости заряда к скорости света. Это объясняется тем, что магнитное взаимодействие между движущимися зарядами является релятивистским эффектом. Магнетизм исчез бы, если бы скорость света оказалась бесконечно большой.

Сила Ампера

Если провод, по которому течет ток, находится в магнитном поле, на каждый из носителей тока действует сила

(см. (43.3)). Здесь v — скорость хаотического движения носителя, u — скорость упорядоченного движения. От носителя тока действие этой силы передается проводнику, по которому он перемещается.

В результате на провод с током, находящийся в магнитном поле, действует сила.

Найдем величину силы dF, действующей на элемент провода длины dl. Усредним выражение (44.1) по носителям тока, содержащимся в элементе dl:

(В — магнитная индукция в том месте, где помещается элемент dl). В элементе провода содержится число носителей, равное nS dl (n — число носителей в единице объема, S — площадь поперечного сечения провода в данном месте).

Рис. 44.1

Рис. 44.2.

Умножив выражение (44.2) на число носителей, найдем интересующую нас силу:

Приняв во внимание, что ne<u> есть плотность тока j, a Sdl дает объем элемента провода dV, мoжно написать

Отсюда можно получить выражение для плотности силы, т. е. для силы, действующей на единицу объема проводника:

Напишем формулу (44.3) в виде

Заменив согласно (42.2) jS dl через jS dl= Idl придем к формуле

Эта формула определяет силу, действующую на элемент тока, dl в магнитном поле. Соотношение (44.5) было установлено экспериментально Ампером и носит название закона Ампера.

Мы получили закон Ампера, исходя из выражения (43.3) для магнитной силы. В действительности выражение для магнитной силы было получено из установленного экспериментально соотношения (44.5).

Модуль силы (44.5) вычисляется по формуле

где a — угол между векторами dl и В (рис. 44.1). Направлена сила перпендикулярно к плоскости, в которой лежат векторы dl и В.

Применим закон Ампера для вычисления силы взаимодействия двух находящихся в вакууме параллельных бесконечно длинных прямых токов. Если расстояние между токами b (рис. 44.2), то каждый элемент тока I₂ будет находиться в магнитном поле, индукция которого, равна (см. формулу (42.5)). Угол а между элементами тока I₂ и вектором B₁ прямой. Следовательно, согласно (44.6) на единицу длины тока h действует сила

Выражение (44.7) совпадает с формулой (39.2).

Для силы F_12eд действующей на единицу длины тока I₁, получается аналогичное выражение. Легко убедиться в том, что при одинаковом направлении токов они притягивают друг друга, а при различном — отталкивают.

2. Источники магнитного поля и принцип суперпозиции. Закон Био-Савара, как аналог кулоновского поля точечного заряда, магнитная постоянная µ₀. Пример применения закона: магнитное поле на оси кругового тока.

Опыт, как уже отмечалось, свидетельствует о том, что источником магнитного поля является электрический ток. Но каким образом можно вычислить вектор магнитной индукции поля, зная этот ток?

Для магнитного поля, также как и для электрического, справедлив принцип суперпозиции электрических полей. Справедливость этого принципа нельзя доказать теоретически. Он подтверждается только экспериментально.

Суть этого принципа состоит в следующих двух положениях.

1) Если ток I₁ создаёт в некоторой точке пространства магнитное поле , то этот вектор магнитной индукции не изменится при появлении других токов: I₂, I₃, …, I_n. Это означает, что появление новых токов и новых полей не искажает индукции магнитного поля исходного тока I₁.

2) Если магнитное поле создаётся несколькими токами, то индукция такого поля равна векторной сумме магнитных индукций складываемых полей:

               (8.4)

Эти положения многократно подтверждены экспериментально.

Теперь применим принцип суперпозиции для расчёта магнитного поля электрического тока: вектор магнитной индукции поля, созданного электрическим током, равен векторной сумме магнитных индукций от отдельных элементов этого тока:

.

Для окончательного решения этой задачи нужно только знать, какое поле создаёт элемент тока .

В решении этой проблемы добились успеха французские учёные: физики экспериментаторы Био и Савар и математик Лаплас. Они установили, что вектор магнитной индукции поля, созданного элементом тока , равен:

           (закон Био-Савара-Лапласа, 1820 г.),       (8.5)

здесь:     — элемент тока;

 — радиус-вектор, проведённый от элемента тока в точку, где вычисляется магнитное поле (рис. 8.5.)

Рис. 8.5.

Таким образом, был найден «элементарный кирпичик» магнитного поля. Зная поле элемента тока (8.5), можно теперь, опираясь на принцип суперпозиции магнитных полей, рассчитать поле любого тока.