1. Электростатическое поле в вакууме

1. Электростатическое взаимодействие, электрический заряд. Закон сохранения электрического заряда.

Подобно понятию гравитационной массы тела в механике Ньютона, понятие заряда в электродинамике является первичным, основным понятием.

Электрический заряд – это физическая величина, характеризующая свойство частиц или тел вступать в электромагнитные силовые взаимодействия.

Электрический заряд обычно обозначается буквами q или Q.

Совокупность всех известных экспериментальных фактов позволяет сделать следующие выводы:

• Существует два рода электрических зарядов, условно названных положительными и отрицательными.

• Заряды могут передаваться (например, при непосредственном контакте) от одного тела к другому. В отличие от массы тела электрический заряд не является неотъемлемой характеристикой данного тела. Одно и то же тело в разных условиях может иметь разный заряд.

• Одноименные заряды отталкиваются, разноименные – притягиваются. В этом также проявляется принципиальное отличие электромагнитных сил от гравитационных. Гравитационные силы всегда являются силами притяжения.

Одним из фундаментальных законов природы является экспериментально установленный закон сохранения электрического заряда.

В изолированной системе алгебраическая сумма зарядов всех тел остается постоянной:

q1 + q2 + q3 + ... +qn = const.

Закон сохранения электрического заряда утверждает, что в замкнутой системе тел не могут наблюдаться процессы рождения или исчезновения зарядов только одного знака.

С современной точки зрения, носителями зарядов являются элементарные частицы. Все обычные тела состоят из атомов, в состав которых входят положительно заряженные протоны, отрицательно заряженные электроны и нейтральные частицы –нейтроны. Протоны и нейтроны входят в состав атомных ядер, электроны образуют электронную оболочку атомов. Электрические заряды протона и электрона по модулю в точности одинаковы и равны элементарному заряду e.

В нейтральном атоме число протонов в ядре равно числу электронов в оболочке. Это число называется атомным номером. Атом данного вещества может потерять один или несколько электронов или приобрести лишний электрон. В этих случаях нейтральный атом превращается в положительно или отрицательно заряженный ион.

Заряд может передаваться от одного тела к другому только порциями, содержащими целое число элементарных зарядов. Таким образом, электрический заряд тела – дискретная величина: 

Физические величины, которые могут принимать только дискретный ряд значений, называются квантованными. Элементарный заряд e является квантом (наименьшей порцией) электрического заряда. Следует отметить, что в современной физике элементарных частиц предполагается существование так называемых кварков – частиц с дробным зарядом иОднако, в свободном состоянии кварки до сих пор наблюдать не удалось.

2. Закон Кулона взаимодействия точечных электрических зарядов, электрическая постоянная ɛ₀. Принцип суперпозиции для взаимодействия зарядов.

Точечным зарядом называют заряженное тело, размерами которого в условиях данной задачи можно пренебречь.

На основании многочисленных опытов Кулон установил следующий закон:

Силы взаимодействия неподвижных зарядов прямо пропорциональны произведению модулей зарядов и обратно пропорциональны квадрату расстояния между ними:

Силы взаимодействия подчиняются третьему закону Ньютона:Они являются силами отталкивания при одинаковых знаках зарядов и силами притяжения при разных знаках (рис. 1.1.3). Взаимодействие неподвижных электрических зарядов называютэлектростатическим или кулоновским взаимодействием. Раздел электродинамики, изучающий кулоновское взаимодействие, называют электростатикой.

Закон Кулона справедлив для точечных заряженных тел. Практически закон Кулона хорошо выполняется, если размеры заряженных тел много меньше расстояния между ними.

Коэффициент пропорциональности k в законе Кулона зависит от выбора системы единиц. В Международной системе СИ за единицу заряда принят кулон (Кл).

Кулон – это заряд, проходящий за 1 с через поперечное сечение проводника при силе тока 1 А. Единица силы тока (ампер) в СИ является наряду с единицами длины, времени и массы основной единицей измерения.

Коэффициент k в системе СИ обычно записывают в виде: 

где –электрическая постоянная.

В системе СИ элементарный заряд e равен:

e = 1,602177·10–19 Кл ≈ 1,6·10–19 Кл.

Опыт показывает, что силы кулоновского взаимодействия подчиняются принципу суперпозиции.

Если заряженное тело взаимодействует одновременно с несколькими заряженными телами, то результирующая сила, действующая на данное тело, равна векторной сумме сил, действующих на это тело со стороны всех других заряженных тел.

Рис. 1.1.4 поясняет принцип суперпозиции на примере электростатического взаимодействия трех заряженных тел.

Рисунок 1.1.4. Принцип суперпозиции электростатических сил

Принцип суперпозиции является фундаментальным законом природы. Однако, его применение требует определенной осторожности, в том случае, когда речь идет о взаимодействии заряженных тел конечных размеров (например, двух проводящих заряженных шаров 1 и 2). Если к системе из двух заряженных шаров поднсти третий заряженный шар, то взаимодействие между 1 и 2 изменится из-за перераспределения зарядов.

Принцип суперпозиции утверждает, что при заданном (фиксированном) распределении зарядов на всех телах силы электростатического взаимодействия между любыми двумя телами не зависят от наличия других заряженных тел.

3. Понятие электрического поля, вектор напряженности электрического поля Е. Принцип суперпозиции для электрического поля с помощью картины силовых полей.

По современным представлениям, электрические заряды не действуют друг на друга непосредственно. Каждое заряженное тело создает в окружающем пространстве электрическое поле. Это поле оказывает силовое действие на другие заряженные тела. Главное свойство электрического поля – действие на электрические заряды с некоторой силой. Таким образом, взаимодействие заряженных тел осуществляется не непосредственным их воздействием друг на друга, а через электрические поля, окружающие заряженные тела.

Электрическое поле, окружающее заряженное тело, можно исследовать с помощью так называемого пробного заряда – небольшого по величине точечного заряда, который не производит заметного перераспределения исследуемых зарядов.

Для количественного определения электрического поля вводится силовая характеристика напряженность электрического поля.

Напряженностью электрического поля называют физическую величину, равную отношению силы, с которой поле действует на положительный пробный заряд, помещенный в данную точку пространства, к величине этого заряда:

Напряженность электрического поля – векторная физическая величина. Направление вектора в каждой точке пространства совпадает с направлением силы, действующей на положительный пробный заряд.

Электрическое поле неподвижных и не меняющихся со временем зарядов называется электростатическим. Во многих случаях для краткости это поле обозначают общим термином – электрическое поле

Если с помощью пробного заряда исследуется электрическое поле, создаваемое несколькими заряженными телами, то результирующая сила оказывается равной геометрической сумме сил, действующих на пробный заряд со стороны каждого заряженного тела в отдельности. Следовательно, напряженность электрического поля, создаваемого системой зарядов в данной точке пространства, равна векторной сумме напряженностей электрических полей, создаваемых в той же точке зарядами в отдельности:

Это свойство электрического поля означает, что поле подчиняется принципу суперпозиции.

В соответствии с законом Кулона напряженность электростатического поля, создаваемого точечным зарядом Q на расстоянии r от него, равна по модулю 

Это поле называется кулоновским. В кулоновском поле направление вектора зависит от знака зарядаQ: если Q > 0, то вектор направлен по радиусу от заряда, еслиQ < 0, то вектор направлен к заряду.

Для наглядного изображения электрического поля используют силовые линии. Эти линии проводят так, чтобы направление вектора в каждой точке совпадало с направлением касательной к силовой линии (рис. 1.2.1). При изображении электрического поля с помощью силовых линий, их густота должна быть пропорциональна модулю вектора напряженности поля.

Рисунок 1.2.1. Силовые линии электрического поля

Силовые линии кулоновских полей положительных и отрицательных точечных зарядов изображены на рис. 1.2.2. Так как электростатическое поле, создаваемое любой системой зарядов, может быть представлено в виде суперпозиции кулоновских полей точечных зарядов, изображенные на рис. 1.2.2 поля можно рассматривать как элементарные структурные единицы («кирпичики») любого электростатического поля.

Рисунок 1.2.2. Силовые линии кулоновских полей

Кулоновское поле точечного заряда Q удобно записать в векторной форме. Для этого нужно провести радиус-вектор от зарядаQ к точке наблюдения. Тогда при Q > 0 вектор параллелена приQ < 0 вектор антипараллеленСледовательно, можно записать:

где r – модуль радиус-вектора .

В качестве примера применения принципа суперпозиции полей на рис. 1.2.3. изображена картина силовых линий поля электрического диполя – системы из двух одинаковых по модулю зарядов разного знака q и –q, расположенных на некотором расстоянии l.

Рисунок 1.2.3. Силовые линии поля электрического диполя

Важной характеристикой электрического диполя является так называемый дипольный момент 

где – вектор, направленный от отрицательного заряда к положительному, модульДиполь может служить электрической моделью многих молекул.

Электрическим дипольным моментом обладает, например, нейтральная молекула воды (H₂O), так как центры двух атомов водорода располагаются не на одной прямой с центром атома кислорода, а под углом 105° (рис. 1.2.4). Дипольный момент молекулы воды p = 6,2·10^–30 Кл · м.

Рисунок 1.2.4. Дипольный момент молекулы воды

Во многих задачах электростатики требуется определить электрическое поле по заданному распределению зарядов. Пусть, например, нужно найти электрическое поле длинной однородно заряженной нити (рис. 1.2.5) на расстоянииR от нее.

Рисунок 1.2.5. Электрическое поле заряженной нити

Поле в точке наблюдения P может быть представлено в виде суперпозиции кулоновских полей, создаваемых малыми элементами Δx нити, с зарядом τΔx, гдеτ – заряд нити на единицу длины. Задача сводится к суммированию (интегрированию) элементарных полей Результирующее поле оказывается равным

Вектор везде направлен по радиусуЭто следует из симметрии задачи. Уже этот простой пример показывает, что прямой путь определения поля по заданному распределению зарядов приводит к громоздким математическим выкладкам. В ряде случаев можно значительно упростить расчеты, если воспользоватьсятеоремой Гаусса, которая выражает фундаментальное свойство электрического поля.

4. Консервативность электростатического поля, уравнения для циркуляции электростатического поля (в интегральной форме). Потенциал электростатического поля (сравнить с потенциальной энергией тела в механике). Выражение электростатического поля через потенциал и потенциала через поля

Работа сил электростатического поля. Работа силы , совершаемая при перемещенииматериальной точки под действием этой силы равна, где- угол между направлением силы и направлением перемещения.

Пользуясь этой формулой можно найти работу по перемещению заряда в поле другого неподвижного заряда (рис. 17.1) Заряд перемещается из точки 1 в точку 2 в поле заряда. Элементарная работа силына перемещенииравна: . Так как сила , то полная работа на пути из точки 1 в точку 2 равна, то есть:
	Рис. 17.1

(*)

Потенциальность (консервативность) электростатического поля. Циркуляция вектора .

Из формулы (*) видно, что не зависит от пути перемещения заряда иопределяется только относительными положениями и в начале и конце пути. Отсюда, в частности следует, что работа по перемещению заряда по замкнутому контуру равна нулю, то есть электростатическое поле является потенциальным.

Элементарную работу можно записать в форме:, где- вектор напряженности поля, создаваемого зарядом. Работа по замкнутому контуру равна:

Выражение называется циркуляцией вектора по замкнутому контуру. Для электростатического поля работа по замкнутому контуру из формулы (*) , отсюда, то есть

Таким образом, условием потенциальности электростатического поля является равенство нулю циркуляции вектора напряженности электростатического поля по любому замкнутому контуру.

Потенциал. Разность потенциалов.

Тело, находящееся в потенциальном поле имеет потенциальную энергию. Работу по перемещению тела можно представить в виде разности потенциальных энергий в начале и конце пути

Потенциальную энергию можно отсчитывать от любого уровня (так как физический смысл имеет только лишь разность потенциальных энергий). Удобно выбрать потенциальную энергию заряда на бесконечности за начало отсчета потенциальной энергии.

Устремим , тогда:

, а в общем случае:

(**)

где -потенциальная энергия заряда в поле зарядана расстоянии.

Определение. Потенциал – это энергетическая характеристика электростатического поля, скалярная величина, численно равная отношению потенциальной энергии, которую имеет заряд в данной точке поля, к величине этого заряда.

Подставляя выражения для потенциальной энергии (**), получим формулу для потенциала электростатического поля точечного заряда.

Единица измерения потенциала – Вольт. .

В силу введенного определения потенциала работа по перемещению зарядав электростатическом поле из точки 1 в точку 2.

,

откуда

,

Разность потенциалов – отношение работы по перемещению заряда к величине этого заряда, удельная работа кулоновских сил, однозначно определяемая начальной и конечной точками перемещения.

Связь между потенциалом и напряженностью электростатического поля.

Для работы на перемещении можно написать два эквивалентных выражения.

Знак « - » во второй формуле связан с тем, что работа сил поля над зарядом равна убыли потенциальной энергии заряда.

Сравнение двух формул приводит к связи между потенциалом поля и вектором напряженности электростатического поля.

Отсюда

; ;.

Вектор можно представить как, подставляя выражения для компонентов вектора, получим:

Выражение в скобках есть не что иное как , окончательно получаем:

Напряженность поля равна градиенту потенциала, взятому со знаком минус.

(Примечания. 1. Используя символ «набла» , связь между вектором напряженностии потенциаломможно представить более компактно:

2. В случае радиальной симметрии ).

Пример: Пусть имеются эквипотенциальные линии (линии одинакового потенциала) ,ипричем(рис. 17.2). Требуется указать направления векторовив некоторой точке А. В соответствии с определением градиента он направлен в сторону быстрейшего возрастания, то есть по перпендикуляру к касательной в точке А к эквипотенциальной линиив сторону. Из формулы связииследует, что векторнаправлен в противоположную сторону.

5. Теорема Гаусса для электростатических полей (в интегральной форме), её применение для расчёта полей по заданному распределению зарядов для случаев высокой симметрии распределения зарядов: плоской симметрии, цилиндрической, сферической

Электростатическое поле наглядно можно изобразить с помощью силовых линий (линий напряженности). Силовыми линиями называют кривые, касательные к которым в каждой точке совпадают с вектором напряженности Е.

Силовые линии являются условным понятием и реально не существуют. Силовые линии одиночного отрицательного и одиночного положительного зарядов - это радиальные прямые, выходящие от положительного заряда или идущие к отрицательному заряду.

Если густота и направление силовых линий по всему объему поля сохраняются неизменными, такое электростатическое поле считается однородным (= const). Например, заряд, распределенный равномерно по бесконечной плоскости, создает однородное электрическое поле, силовые линии которого изображаются равноотстоящими друг от друга параллельными прямыми линиями.

Для того чтобы силовые линии характеризовали не только направление поля, но и значение его напряженности, число линий должно быть численно равно напряженности поля Е.

Число силовых линий , пронизывающих элементарную площадкуdS, перпендикулярную к ним, определяет поток вектора напряженности электростатического поля:

где - проекция вектораЕ на направление нормали n к площадке dS.

Соответственно поток вектора Е сквозь произвольную замкнутую поверхность S

На разных участках поверхности S не только величина, но и знак потока могут меняться:

1) при 

2) при 

3) при это означает, что линии скользят вдоль поверхности, не пересекая ее.

Найдем поток вектора Е сквозь сферическую поверхность S, в центре которой находится точечный заряд q.

В этом случае т.к. направленияЕ и n во всех точках сферической поверхности совпадают.

С учетом напряженности поля точечного заряда и того, что площадь поверхности сферыполучим

- алгебраическая величина, зависящая от знака заряда. Например, при q<0 линии Е направлены к заряду и противоположны направлению внешней нормали n. Поэтому в таком случае поток отрицателен <0 .

Пусть замкнутая поверхность вокруг зарядаq имеет произвольную форму. Очевидно, что поверхность пересекается тем же числом линийЕ, что и поверхность S. Следовательно, поток вектора Е сквозь произвольную поверхность также определяется полученной формулой.

Если заряд будет находиться вне замкнутой поверхности, то, очевидно, сколько линий войдет в замкнутую область, столько же из нее и выйдет. В результате поток вектора Е будет равен нулю.

Если электрическое поле создается системой точечных зарядов 

то согласно принципу суперпозиции,

Эта формула является математическим выражением теоремы Гаусса:поток вектора напряженности Е электрического поля в вакууме через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, которые она охватывает, деленной на 

Для полноты описания представим теорему Гаусса еще и в локальной форме, опираясь не на интегральные соотношения, а на параметры поля в данной точке пространства. Для этого удобно использовать дифференциальный оператор - дивергенцию вектора, -

Его часто записывают как скалярное произведение оператора векторного дифференцирования («набла») -

- на векторную функцию:

В математическом анализе известна теорема Гаусса-Остроградского: поток вектора через замкнутую поверхность равен интегралу от его дивергенции по объему, ограниченному этой поверхностью, -

Суммарный электрический заряд можно выразить через объемную плотность заряда :

Поскольку поверхность интегрирования (или заключенный в ней объем) выбраны произвольно, то из (1) следует равенство подынтегральных выражений:

Это выражение и есть теорема Гаусса в локальной (дифференциальной) форме.

Теорема Гаусса позволяет определять напряженности различных электростатических полей. Рассмотрим несколько примеров применения теоремы Гаусса.